Problema probabilitat condicionada. Cabells

A Barcelona, el 60% de la població té el cabell castany, el 70% té ulls castanys, i el 80% té el cabell o els ulls castanys. Escollim una persona a l’atzar. Si teniu el cabell castany, quina és la probabilitat que tingui també ulls castanys?

Estem considerant dos successos, $C$=”tenir el cabell castany”, $O$= “tenir els ulls castanys”. Per l’enunciat, sabem que :$P(C)=\dfrac{6}{10}={3}{5}$, $P(O)=\dfrac{7}{10}$, $P(O\cup C)=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$

Ens pregunten la probabilitat de tenir ulls castanys, sabent que la persona té els cabells castanys, és a dir, $P(O/C)$

Aplicant la fórmula de la probabilitat condicionada, $P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}$ però encara no coneixem $P(O\cap C)$

Com coneixem la probabilitat de la unió, podem utilitzar la fórmula $$P(O\cup C)=P(O)+P(C)-P(O\cap C)$$

Substituint,

$$\dfrac{4}{5}=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-P(O\cap C)$$

i per tant,

$$P(O\cap C)=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$

Així doncs,

$$P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{6}$$