Problema d’optimització. Prisma recte de base quadrada

Problema d’optimització. Prisma recte de base quadrada
8 d'abril de 2023 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Considereu tots els prismes rectes de base quadrada amb un volum $V$ fixat. Anomeneu $x$ el costat de la base del prisma i $y$ la seva altura.

a) Trobeu l’expressió del volum i de l’àrea total del prisma en funció de les variables $x$ i $y$.

b) Comproveu que el que té àrea total mínima és en realitat un cub.

a) El volum d’un prisma recte de base quadrada és el producte de l’àrea de la base per la seva altura, és a dir, $V = x^2y$. Per a l’àrea total, primer cal calcular l’àrea de cada cara lateral, que és el producte del perímetre de la base pel costat de la base, és a dir, $4xy$. Com que hi ha 4 cares laterals en un prisma recte, l’àrea total serà $$A = 2x^2 + 4xy$$.

b) Per trobar el valor mínim de l’àrea total, hem de trobar els valors de $x$ i $y$ que minimitzen l’expressió $2x^2 + 4xy$, mantenint el volum $V$ fixat. Podem utilitzar la restricció del volum per eliminar la variable $y$ de l’expressió per l’àrea total. Substituint $y = V/x^2$ a l’expressió per l’àrea total, obtenim:

\begin{equation*} A = 2x^2 + 4xy = 2x^2 + 4x(V/x^2) = 2x^2 + 4V/x \end{equation*}

Per trobar el valor mínim d’aquesta expressió, podem calcular la seva derivada en relació a $x$, igualar-la a zero i resoldre per $x$:

\begin{align*} \frac{dA}{dx} &= 4x – \frac{4V}{x^2} = 0 \\ 4x^3 – 4V &= 0 \\ x^3 &= V \end{align*}

Per tant, $x = V^{1/3}$ i $y = V/(x^2) = V^{1/3}$. Això significa que el prisma recte de base quadrada amb volum fixat i àrea total mínima és un cub amb costat $V^{1/3}$, que és també la seva altura.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *