Problema d’optimització. Prisma recte de base quadrada

Considereu tots els prismes rectes de base quadrada amb un volum $V$ fixat. Anomeneu $x$ el costat de la base del prisma i $y$ la seva altura.

a) Trobeu l’expressió del volum i de l’àrea total del prisma en funció de les variables $x$ i $y$.

b) Comproveu que el que té àrea total mínima és en realitat un cub.

a) El volum d’un prisma recte de base quadrada és el producte de l’àrea de la base per la seva altura, és a dir, \[ V = x^2 y. \] Per a l’àrea total, primer cal calcular l’àrea de cada cara lateral, que és el producte del perímetre de la base per l’altura: \[ \text{Àrea lateral} = 4xy. \] Com que hi ha dues bases de mida $x^2$, l’àrea total del prisma és: \[ A = 2x^2 + 4xy. \]

b) Comproveu que el que té àrea total mínima és en realitat un cub. Per trobar el valor mínim de l’àrea total, hem de trobar els valors de $x$ i $y$ que minimitzen l’expressió $A = 2x^2 + 4xy$, mantenint el volum $V$ fixat. Utilitzem la restricció del volum per expressar $y$ en funció de $x$: \[ y = \frac{V}{x^2}. \] Substituint aquesta expressió a l’àrea total: \[ A = 2x^2 + 4x \frac{V}{x^2} = 2x^2 + \frac{4V}{x}. \] Per trobar el valor mínim d’aquesta funció, derivem respecte de $x$ i igualem a zero: \[ \frac{dA}{dx} = 4x – \frac{4V}{x^2} = 0. \] Multiplicant per $x^2$ per eliminar el denominador: \[ 4x^3 – 4V = 0. \] Resolent per $x$: \[ x^3 = V \quad \Rightarrow \quad x = V^{1/3}. \] Substituint aquest valor en l’expressió de $y$: \[ y = \frac{V}{x^2} = \frac{V}{(V^{1/3})^2} = V^{1/3}. \] Això confirma que el prisma amb àrea total mínima és un cub de costat $V^{1/3}$.