Problema probabilitats. Batxillerat científic, batxillerat humanístic

En un poble hi ha dos instituts que anomenarem A1 i A2. En tots dos instituts es pot estudiar el batxillerat científic (que anomenarem B1) o l’humanístic (que anomenarem B2). Seleccionem un alumne a l’atzar i se sap que la probabilitat que pertanyi a l’institut A1 és de $0.3$, la probabilitat que pertanyi a l’institut A2 és de $0.7$. D’altra banda, la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut A1 és de $0.55$ mentre que la probabilitat que estudiï el batxillerat científic si sabem que pertany a l’institut A2 és de $0.59$.

a) Quina és la probabilitat que l’alumne estudiï el batxillerat científic?

b) Quina és la probabilitat que estudiï a l’institut A1 si sabem que estudia el batxillerat científic?

Considerem els esdeveniments:
$A_1=$ l’alumne estudia a l’institut A1; $A_2 =$ l’alumne estudia a l’institut A2; $B_1 =$ l’alumne estudia el batxillerat científic; $B_2 =$ l’alumne estudia el batxillerat humanístic

Sabem que $P(A_1) = 0.3$ i $P(A_2) = 0.7$. Sabem també que $P(B_1|A_1) = 0.55$ i $P(B_1|A_2) = 0.59$.

a) Aplicant la fórmula de les probabilitats totals tenim que:

$$P(B1) = P(B_1\cap A_1) + P(B_1\cap A_2)= P(B1|A1)P(A1) + P(B1|A2)P(A2)$$

Per tant, $$P(B1) = 0.55\cdot0.3 + 0.59\cdot0.7 = 0.578$$
La probabilitat que estudiï el batxillerat científic és de $0.578$.

b) Aplicant la fórmula de la probabilitat condicionada i la fórmula de Bayes, $$P(A_1|B_1) = \frac{P(A_1\cap B_1)}{P(B_1)} = \frac{0.55\cdot0.3}{0.578} = 0.2855$$

La probabilitat que estudiï a l’institut A1 si sabem que estudia el batxillerat científic és de $0.2855$.