LEMNISCATA
Matemàtiques
Considera el següent sistema d’equacions lineals,
$$\left.\begin{array}{rcc} 2x-4y+2z & = & 1 \\ 5x-11y+9z & = & \lambda \\ x-3y+5z & = & 2\end{array}\right\}$$
a) Discuteix el sistema segons els valors de $\lambda$.
Sigui $A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -4 & 2 \\ 5 & -11 & 9 \\ 1 & -3 & 5 \end{array}\right)$ la matriu de coeficients.
I $A^+=\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & 2 & 1 \\ 5 & -11 & 9 & \lambda \\ 1 & -3 & 5 & 2 \end{array}\right)$ la matriu ampliada.
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc} 2 & -4 & 2 \\ 5 & -11 & 9 \\ 1 & -3 & 5 \end{array}\right|=-110-36 -30-(-22-54-100)=-176-(-176)=0\Rightarrow Rang(A)\neq3\Rightarrow Rang(A)<3$$
Com $\left|\begin{array}{cc} 2 & -4 \\ 5 & -11 \end{array}\right|=-22+20=-2\neq 0 \Rightarrow Rang(A)=2$
Perquè el sistema sigui Compatible, $Rang(A^+)$ ha de ser també $2$. Com que són les tres columnes de $A$ linealment dependents, usem dues qualsevol d’elles més la columna de termes independents per veure el $Rang(A^+)$.
$$\left|\begin{array}{ccc} 2 & 2 & 1 \\ 5 & 9 & \lambda \\ 1 & 5 & 2 \end{array}\right|\xrightarrow[F_1 \text{ per } F_3] {\text{canviem}}-\left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\ 5 & 9 & \lambda \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right|\xrightarrow[ F_3-2\cdot F_1]{F_2-5\cdot F_1}-\left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\ 0 & -16 & \lambda-10 \\ 0 & -8 & -3 \end{array}\right|\xrightarrow[F_2 \text{ per } F_3]{\text{canviem}}$$
$$\longrightarrow\left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\ 0 & -8 & -3 \\ 0 & -16 & \lambda-10 \end{array}\right|\xrightarrow[F_3 -2\cdot F_2]{}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 2 \\ 0 & -8 & -3 \\ 0 & 0 & \lambda-4 \end{array}\right |=0 \Leftrightarrow \lambda-4=0 \Leftrightarrow \lambda=4$$
Després si $\lambda\neq 4\Rightarrow Rang(A^+)=3\neq Rang(A)\Rightarrow$ Sistema incompatible.
Si $\lambda=4\Rightarrow Rang(A^+)<3 i com \left|\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 5 & 9 \end{array}\right|=8\neq 0 \Rightarrow Rang(A^+)=2$
Aleshores, per $\lambda=4, Rang(A)=Rang(A^+)=2<$ núm. d’incògnites $\Rightarrow$ Sistema Compatible Indeterminat, té infinites solucions.
b) Resol-ho, si és possible, per a $\lambda=4$.
$$\left.\begin{array}{rcc} 2x-4y+2z & = & 1 \ 5x-11y+9z & = & 4 \ x-3y+5z & = & 2 \end{array}\right\}$$
Com a $Rang(A)=Rang(A^+)=2$, ens quedem amb només dues de les equacions.
$$\left.\begin{array}{rcc} 2x-4y+2z & = & 1 \\ x-3y+5z & = & 2 \end{array}\right\}\xrightarrow[]{E_1-2\cdot E_2}\left.\begin{array}{rcc} 2y-8z & = & -3 \\ x-3y+5z & = & 2 \end{array}\right\}$$
Sigueu $$\boxed{z=\mu}\Rightarrow 2y-8\mu=-3\Rightarrow 2y=8\mu-3\Rightarrow \boxed{y=\dfrac{8\mu-3}{2}}$$
$$x-3\left(\dfrac{8\mu-3}{2}\right)+5\mu=2\Rightarrow x= 2-5\mu+3\left(\dfrac{8\mu-3} {2}\right)=\dfrac{4-10\mu+24\mu-9}{2}\Rightarrow\boxed{x=\dfrac{14\mu-5}{2}}$$
Les infinites solucions del sistema per a $\lambda=4$ són
$$\boxed{(x,y,z)=\left(\dfrac{14\mu-5}{2},\dfrac{8\mu-3}{2},\mu\right)\ \forall\mu \in\mathbb{R}}$$