Distribució binomial. Components electrònics

Els components electrònics produïts per una determinada empresa són defectuosos amb una probabilitat de 0.01. L’empresa ven els components en paquets de 10 i es compromet a retornar els diners si el paquet conté 2 o més components defectuosos.
a) Calculeu la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components.
b) Una persona ha comprat 3 paquets de components, quina és la probabilitat que li retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem la distribució binomial. La distribució binomial ens permet calcular la probabilitat de tenir un cert nombre d’èxits en un nombre fix d’assaigs independents, on cada assaig té una probabilitat constant d’èxit.

a) Probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components

Primer calculem la probabilitat que un paquet de $10$ components tingui $2$ o més components defectuosos. Sigui $X$ el nombre de components defectuosos en un paquet de $10$ components. $X$ segueix una distribució binomial amb paràmetres $n = 10$ i $p = 0.01$.

La probabilitat que et retornin els diners és la probabilitat que hi hagi almenys $2$ components defectuosos, és a dir, $P(X \geq 2)$.

$$P(X \geq 2) = 1 – P(X < 2)$$

On $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$.

La fórmula de la probabilitat binomial és:

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

Calcularem $P(X = 0)$) i ($P(X = 1)$:

$$P(X = 0) = \binom{10}{0} (0.01)^0 (0.99)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.99)^{10} = (0.99)^{10}$$

$$P(X = 1) = \binom{10}{1} (0.01)^1 (0.99)^9 = 10 \cdot 0.01 \cdot (0.99)^9$$

Ara calculem aquestes probabilitats:

$$P(X = 0) = (0.99)^{10} \approx 0.9044$$

$$P(X = 1) = 10 \cdot 0.01 \cdot (0.99)^9 \approx 10 \cdot 0.01 \cdot 0.9135 \approx 0.0914$$

Llavors,

$$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.9044 + 0.0914 = 0.9958$$

Per tant,

$$P(X \geq 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – 0.9958 = 0.0042$$

Així, la probabilitat que et retornin els diners si compres un paquet de components és de $0.0042$, o un $0.42\%$.

b) Probabilitat que li retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets

Suposem que una persona ha comprat $3$ paquets de components. Volem calcular la probabilitat que li retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets.

Sigui ($Y$) el nombre de paquets dels quals li retornen els diners. ($Y$ ) segueix una distribució binomial amb paràmetres $n = 3$ i $p = 0.0042$.

Volem calcular $P(Y \geq 1)$.

$$P(Y \geq 1) = 1 – P(Y = 0)$$

On

$$P(Y = 0) = \binom{3}{0} (0.0042)^0 (0.9958)^3 = 1 \cdot 1 \cdot (0.9958)^3 \approx (0.9958)^3 \approx 0.9875$$

Llavors,

$$P(Y \geq 1) = 1 – P(Y = 0) = 1 – 0.9875 = 0.0125$$

Així, la probabilitat que li retornin els diners de, com a mínim, un dels paquets és de $0.0125$, o un $1.25\%$.