Inferència estadística. Angloparlants

Volem conèixer el percentatge de persones que parlen anglès en una població determinada. Prenem una mostra aleatòria de $500$ persones de les quals resulta que $189$ parlen anglès.
a) Doneu l’estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que parlen anglès en aquella població.
b) Escriviu un interval de confiança del $95\%$ per al percentatge de persones que parlen anglès en aquella població.

a) Estimació puntual de la proporció i del percentatge de persones que parlen anglès

L’estimació puntual de la proporció de persones que parlen anglès en la població ($\hat{p}$) es calcula com la proporció de la mostra que parlen anglès.

$$\hat{p} = \frac{x}{n}$$

On:

• $x = 189$ és el nombre de persones de la mostra que parlen anglès.
• $n = 500$ és el nombre total de persones en la mostra.

Substituint aquests valors:

$$\hat{p} = \frac{189}{500} = 0.378$$

Per tant, l’estimació puntual de la proporció és $0.378$, i el percentatge estimat de persones que parlen anglès en aquella població és del $37.8\%$.

b) Interval de confiança del $95\%$ per al percentatge de persones que parlen anglès

Per calcular un interval de confiança del $95\%$ per a la proporció de persones que parlen anglès, utilitzarem la fórmula de l’interval de confiança per a una proporció.

La fórmula de l’interval de confiança és:

$$\hat{p} \pm Z \sqrt{\frac{\hat{p}(1 – \hat{p})}{n}}$$

On:

• $\hat{p} = 0.378$ és l’estimació puntual de la proporció.
• $Z$ és el valor crític de la distribució normal estàndard per al nivell de confiança desitjat. Per a un interval de confiança del $95\%$, $Z = 1.96$.
• $n = 500$ és el nombre total de persones en la mostra.

Substituïm aquests valors a la fórmula:

$$\text{Marge d’error} = 1.96 \sqrt{\frac{0.378 \cdot (1 – 0.378)}{500}}$$

$$\text{Marge d’error} = 1.96 \sqrt{\frac{0.378 \cdot 0.622}{500}}$$

$$\text{Marge d’error} = 1.96 \sqrt{\frac{0.235116}{500}}$$

$$\text{Marge d’error} = 1.96 \sqrt{0.000470232}$$

$$\text{Marge d’error} = 1.96 \cdot 0.021683$$

$$\text{Marge d’error} \approx 0.0425$$

Així, l’interval de confiança és:

$$0.378 \pm 0.0425$$

El que dona:

$$[0.3355, 0.4205]$$

En termes de percentatge, l’interval de confiança del $95\%$ per al percentatge de persones que parlen anglès en aquella població és del $33.55\%$ al $42.05\%$.