Inferència estadística. Iogurts

Els envasos d’una marca determinada de iogurts indiquen que contenen de mitjana 150 grams de iogurt. Hem comprat deu iogurts, n’hem pesat el contingut i hem obtingut les dades següents (en grams):
$$148, 149, 147, 146, 149, 146, 149, 148, 149, 149$$
a) Construïu un interval de confiança del 95% per a la mitjana del pes dels iogurts, suposant que el pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 3 grams.
b) A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior podem afirmar que la informació que hi ha a l’etiqueta és errònia? Justifiqueu la resposta.

a) Construcció d’un interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana del pes dels iogurts

Per construir un interval de confiança per a la mitjana del pes dels iogurts, utilitzarem la fórmula de l’interval de confiança per a la mitjana poblacional quan la desviació estàndard poblacional és coneguda.

La fórmula de l’interval de confiança és:

$$\bar{x} \pm Z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

On:

• $\bar{x}$ és la mitjana de la mostra.
• $Z$ és el valor crític de la distribució normal estàndard per al nivell de confiança desitjat. Per a un interval de confiança del $95\%$, $Z = 1.96$.
• $\sigma$ és la desviació estàndard poblacional.
• $n$ és la mida de la mostra.

Primer, calculem la mitjana de la mostra ($\bar{x}$):

$$\bar{x} = \frac{148 + 149 + 147 + 146 + 149 + 146 + 149 + 148 + 149 + 149}{10} = \frac{1480}{10} = 148$$

Després, calculem l’interval de confiança:

$$\bar{x} \pm 1.96 \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right)$$

Calculem el marge d’error:

$$1.96 \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right) = 1.96 \left( \frac{3}{3.1623} \right) = 1.96 \left( 0.9487 \right) \approx 1.86$$

Per tant, l’interval de confiança és:

$$148 \pm 1.86$$

Això dona:

$$[146.14, 149.86]$$

Per tant, l’interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana del pes dels iogurts és de $146.14$ grams a $149.86$ grams.

b) Afirmació sobre la informació de l’etiqueta

L’etiqueta dels iogurts indica que contenen de mitjana $150$ grams de iogurt. L’interval de confiança del $95\%$ que hem calculat per a la mitjana del pes dels iogurts és de $146.14$ grams a $149.86$ grams.

Atès que el valor de $150$ grams no està dins de l’interval de confiança calculat, podem concloure que, amb un nivell de confiança del $95\%$, la mitjana real del pes dels iogurts és probablement diferent de $150$ grams. Per tant, podem afirmar que la informació que hi ha a l’etiqueta és errònia amb un nivell de confiança del $95\%$.