Inferència estadística. Iogurts

Inferència estadística. Iogurts
9 de juny de 2024 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Els envasos d’una marca determinada de iogurts indiquen que contenen de mitjana 150 grams de iogurt. Hem comprat deu iogurts, n’hem pesat el contingut i hem obtingut les dades següents (en grams):
$$148, 149, 147, 146, 149, 146, 149, 148, 149, 149$$
a) Construïu un interval de confiança del 95% per a la mitjana del pes dels iogurts, suposant que el pes segueix una distribució normal amb una desviació típica de 3 grams.
b) A partir del resultat obtingut en l’apartat anterior podem afirmar que la informació que hi ha a l’etiqueta és errònia? Justifiqueu la resposta.

a) Construcció d’un interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana del pes dels iogurts

Per construir un interval de confiança per a la mitjana del pes dels iogurts, utilitzarem la fórmula de l’interval de confiança per a la mitjana poblacional quan la desviació estàndard poblacional és coneguda.

La fórmula de l’interval de confiança és:

$$\bar{x} \pm Z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

On:

  • $\bar{x}$ és la mitjana de la mostra.
  • $Z$ és el valor crític de la distribució normal estàndard per al nivell de confiança desitjat. Per a un interval de confiança del $95\%$, $Z = 1.96$.
  • $\sigma$ és la desviació estàndard poblacional.
  • $n$ és la mida de la mostra.

Primer, calculem la mitjana de la mostra ($\bar{x}$):

$$\bar{x} = \frac{148 + 149 + 147 + 146 + 149 + 146 + 149 + 148 + 149 + 149}{10} = \frac{1480}{10} = 148$$

Després, calculem l’interval de confiança:

$$\bar{x} \pm 1.96 \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right)$$

Calculem el marge d’error:

$$1.96 \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right) = 1.96 \left( \frac{3}{3.1623} \right) = 1.96 \left( 0.9487 \right) \approx 1.86$$

Per tant, l’interval de confiança és:

$$148 \pm 1.86$$

Això dona:

$$[146.14, 149.86]$$

Per tant, l’interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana del pes dels iogurts és de $146.14$ grams a $149.86$ grams.

b) Afirmació sobre la informació de l’etiqueta

L’etiqueta dels iogurts indica que contenen de mitjana $150$ grams de iogurt. L’interval de confiança del $95\%$ que hem calculat per a la mitjana del pes dels iogurts és de $146.14$ grams a $149.86$ grams.

Atès que el valor de $150$ grams no està dins de l’interval de confiança calculat, podem concloure que, amb un nivell de confiança del $95\%$, la mitjana real del pes dels iogurts és probablement diferent de $150$ grams. Per tant, podem afirmar que la informació que hi ha a l’etiqueta és errònia amb un nivell de confiança del $95\%$.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *