Inferència estadística. Comparativa entre intervals de confiança

Es vol saber la mitjana d’euros que es gasta setmanalment l’alumnat a la cafeteria de l’institut. S’ha seleccionat una mostra de $250$ estudiants i se’ls ha demanat aquesta dada. En aquesta mostra hem obtingut una despesa mitjana de $5$ euros, amb una desviació típica d’$1.5$.
a) Construïu un interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana d’euros que es gasta setmanalment l’alumnat a la cafeteria.
b) Construïu un interval de confiança del $99\%$ per a la mitjana d’euros que es gasta setmanalment l’alumnat a la cafeteria.
c) Expliqueu perquè els dos intervals anteriors són diferents i quina informació ens dona exactament cada un d’ells.

a) Interval de confiança del $95\%$ per a la mitjana d’euros gastats setmanalment

Per construir un interval de confiança per a la mitjana d’euros gastats setmanalment, utilitzarem la fórmula de l’interval de confiança per a la mitjana poblacional quan la desviació estàndard de la població és coneguda.

La fórmula de l’interval de confiança és:

$$\bar{x} \pm Z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

On:

• $\bar{x}$ és la mitjana de la mostra.
• $Z$ és el valor crític de la distribució normal estàndard per al nivell de confiança desitjat. Per a un interval de confiança del $95\%$, $Z = 1.96$.
• $\sigma$ és la desviació estàndard poblacional.
• $n$ és la mida de la mostra.

En aquest cas, tenim:

• $\bar{x} = 5$ euros
• $\sigma = 1.5$ euros
• $n = 250$

Substituïm aquests valors a la fórmula:

$$\bar{x} \pm 1.96 \left( \frac{1.5}{\sqrt{250}} \right)$$

Calculem el marge d’error:

$$1.96 \left( \frac{1.5}{\sqrt{250}} \right) = 1.96 \left( \frac{1.5}{15.81} \right) \approx 1.96 \left( 0.0948 \right) \approx 0.185$$

Per tant, l’interval de confiança és:

$$5 \pm 0.185$$

Això dona:

$$[4.815, 5.185]$$

b) Interval de confiança del $99\%$ per a la mitjana d’euros gastats setmanalment

Per construir l’interval de confiança del $99\%$, utilitzem un valor crític $Z = 2.58$:

$$\bar{x} \pm Z \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$

Substituïm els valors:

$$5 \pm 2.58 \left( \frac{1.5}{\sqrt{250}} \right)$$

Calculem el marge d’error:

$$2.58 \left( \frac{1.5}{\sqrt{250}} \right) = 2.58 \left( \frac{1.5}{15.81} \right) \approx 2.58 \left( 0.0948 \right) \approx 0.2446$$

Per tant, l’interval de confiança és:

$$5 \pm 0.2446$$

Això dona:

$$[4.7554, 5.2446]$$

c) Comparació dels dos intervals de confiança

Els dos intervals de confiança són diferents perquè estan construïts amb diferents nivells de confiança. Un interval de confiança del $95\%$ utilitza un valor crític menor $1.96$ que un interval de confiança del $99\%$ $2.58$. Això significa que el marge d’error és més gran per a l’interval del $99\%$, cosa que produeix un interval més ample.

En altres paraules, quan augmentem el nivell de confiança, necessitem un interval més ampli per assegurar-nos que la mitjana poblacional es trobi dins d’aquest interval amb una major probabilitat. Per tant, l’interval de confiança del $99\%$ és més ample que l’interval de confiança del $95\%$.