Dinàmica del sòlid rígid. Estàtica. Problema de centre de masses.

Tres masses puntuals de $5$ kg cadascuna estan situades sobre l’eix $X$. Una en l’origen de coordenades, l’altra en $x = 1$ m i la tercera en $x = -2$ m. Localitzeu el centre de masses d’aquest sistema de partícules.

Per trobar el centre de masses d’un sistema de partícules situades al llarg de l’eix X, podem utilitzar la fórmula següent:

$$x_{cm} = \displaystyle\frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$$

on:

• $x_{cm}$ és la posició del centre de masses.
• $m_i$ és la massa de cada partícula.
• $x_i$ és la posició de cada partícula.

Tenim tres masses puntuals:

• $m_1 = 5 \, \text{kg}$ a $x_1 = 0 \, \text{m}$
• $m_2 = 5 \, \text{kg}$ a $x_2 = 1 \, \text{m}$
• $m_3 = 5 \, \text{kg}$ a $x_3 = -2 \, \text{m}$

Primer calculem la suma de les masses:

$$\sum m_i = m_1 + m_2 + m_3 = 5 + 5 + 5 = 15 \, \text{kg}$$

Després, calculem la suma dels productes de cada massa per la seva posició:

$\sum m_i x_i = m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 = 5 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 5 \cdot (-2) = 0 + 5 – 10 = -5 \, \text{kg} \cdot \text{m}$$

Finalment, trobem la posició del centre de masses:

$$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i} = \frac{-5}{15} = -\frac{1}{3} \, \text{m}$$

Així, el centre de masses d’aquest sistema de partícules està situat a $-\frac{1}{3} \, \text{m}$ sobre l’eix $X$.