l’expressió de la força de fregament estàtica, de l’acceleració angular i de l’acceleració del centre de masses

l’expressió de la força de fregament estàtica, de l’acceleració angular i de l’acceleració del centre de masses
24 de juny de 2024 No hi ha comentaris Física Oscar Alex Fernandez Mora

Determineu l’expressió de la força de fregament estàtica, de l’acceleració angular i de l’acceleració del centre de masses dels següents objectes que rodolen per un pla inclinat, en funció dels paràmetres dels objectes massa i radi, i de l’angle d’inclinació del pla: cilindre massís, esfera massissa, escorça esfèrica, i cilindre buit.

Per determinar les expressions de la força de fregament estàtica, de l’acceleració angular i de l’acceleració del centre de masses d’objectes que rodolen per un pla inclinat, cal tenir en compte les lleis de Newton per la translació i la rotació.

Forces Actuants

Per un objecte de massa $m$ i radi $r$ rodolant per un pla inclinat amb un angle $\theta$:

  • La força gravitatòria component al llarg del pla: $mg \sin \theta$
  • La força normal: $N = mg \cos \theta$
  • La força de fregament estàtica $f_s$, que impedeix el lliscament i proporciona el parell necessari per la rotació.

Dinàmica Translacional

$$m a = mg \sin \theta – f_s$$

Dinàmica Rotacional

El moment d’inèrcia $I$ de l’objecte rodant al voltant del seu eix de rotació és:
$$\tau = I \alpha$$

La força de fregament estàtica $f_s$ proporciona el parell:
$$f_s r = I \alpha$$

L’acceleració angular $\alpha$ està relacionada amb l’acceleració del centre de masses $a$ per:
$$\alpha = \frac{a}{r}$$

Resum de les Expressions per Diferents Objectes

1. Cilindre Massís

Moment d’inèrcia:
$$I = \frac{1}{2} m r^2$$

Equacions de moviment:
$$f_s r = \frac{1}{2} m r^2 \left( \frac{a}{r} \right)$$
$$f_s = \frac{1}{2} m a$$

$$m a = mg \sin \theta – f_s$$
$$m a = mg \sin \theta – \frac{1}{2} m a$$
$$a \left( m + \frac{1}{2} m \right) = mg \sin \theta$$
$$\frac{3}{2} m a = mg \sin \theta$$
$$a = \frac{2}{3} g \sin \theta$$

Força de fregament:
$$f_s = \frac{1}{2} m a = \frac{1}{2} m \left( \frac{2}{3} g \sin \theta \right) = \frac{1}{3} mg \sin \theta$$

Acceleració angular:
$$\alpha = \frac{a}{r} = \frac{\frac{2}{3} g \sin \theta}{r} = \frac{2 g \sin \theta}{3r}$$

2. Esfera Massissa

Moment d’inèrcia:
$$I = \frac{2}{5} m r^2$$

Equacions de moviment:
$$f_s r = \frac{2}{5} m r^2 \left( \frac{a}{r} \right)$$
$$f_s = \frac{2}{5} m a$$

$$m a = mg \sin \theta – f_s$$
$$m a = mg \sin \theta – \frac{2}{5} m a$$
$$a \left( m + \frac{2}{5} m \right) = mg \sin \theta$$
$$\frac{7}{5} m a = mg \sin \theta$$
$$a = \frac{5}{7} g \sin \theta$$

Força de fregament:
$$f_s = \frac{2}{5} m a = \frac{2}{5} m \left( \frac{5}{7} g \sin \theta \right) = \frac{2}{7} mg \sin \theta$$

Acceleració angular:
$$\alpha = \frac{a}{r} = \frac{\frac{5}{7} g \sin \theta}{r} = \frac{5 g \sin \theta}{7r}$$

3. Escorça Esfèrica

Moment d’inèrcia:
$$I = \frac{2}{3} m r^2$$

Equacions de moviment:
$$f_s r = \frac{2}{3} m r^2 \left( \frac{a}{r} \right)$$
$$f_s = \frac{2}{3} m a$$

$$m a = mg \sin \theta – f_s$$
$$m a = mg \sin \theta – \frac{2}{3} m a$$
$$a \left( m + \frac{2}{3} m \right) = mg \sin \theta$$
$$\frac{5}{3} m a = mg \sin \theta$$
$$a = \frac{3}{5} g \sin \theta$$

Força de fregament:
$$f_s = \frac{2}{3} m a = \frac{2}{3} m \left( \frac{3}{5} g \sin \theta \right) = \frac{2}{5} mg \sin \theta$$

Acceleració angular:
$$\alpha = \frac{a}{r} = \frac{\frac{3}{5} g \sin \theta}{r} = \frac{3 g \sin \theta}{5r}$$

4. Cilindre Buit

Moment d’inèrcia:
$$I = m r^2$$

Equacions de moviment:
$$f_s r = m r^2 \left( \frac{a}{r} \right)$$
$$f_s = m a$$

$$m a = mg \sin \theta – f_s$$
$$m a = mg \sin \theta – m a$$
$$a \left( m + m \right) = mg \sin \theta$$
$$2m a = mg \sin \theta$$
$$a = \frac{1}{2} g \sin \theta$$

Força de fregament:
$$f_s = m a = m \left( \frac{1}{2} g \sin \theta \right) = \frac{1}{2} mg \sin \theta$$

Acceleració angular:
$$\alpha = \frac{a}{r} = \frac{\frac{1}{2} g \sin \theta}{r} = \frac{g \sin \theta}{2r}$$

Resum de Resultats

ObjecteForça de Fregament $f_s$Acceleració Angular $\alpha$Acceleració del Centre de Masses $a$
Cilindre Massís$\frac{1}{3} mg \sin \theta$$\frac{2 g \sin \theta}{3r}$$\frac{2}{3} g \sin \theta$
Esfera Massissa$\frac{2}{7} mg \sin \theta$$\frac{5 g \sin \theta}{7r}$$\frac{5}{7} g \sin \theta$
Escorça Esfèrica$\frac{2}{5} mg \sin \theta$$\frac{3 g \sin \theta}{5r}$$\frac{3}{5} g \sin \theta$
Cilindre Buit$\frac{1}{2} mg \sin \theta$$\frac{g \sin \theta}{2r}$$\frac{1}{2} g \sin \theta$

Aquestes expressions es poden utilitzar per determinar la força de fregament estàtica, l’acceleració angular i l’acceleració del centre de masses per diferents objectes rodants sobre un pla inclinat.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *