LEMNISCATA
Matemàtiques
Determineu l’expressió de la força de fregament estàtica, de l’acceleració angular i de l’acceleració del centre de masses dels següents objectes que rodolen per un pla inclinat, en funció dels paràmetres dels objectes massa i radi, i de l’angle d’inclinació del pla: cilindre massís, esfera massissa, escorça esfèrica, i cilindre buit.
Per determinar les expressions de la força de fregament estàtica, de l’acceleració angular i de l’acceleració del centre de masses d’objectes que rodolen per un pla inclinat, cal tenir en compte les lleis de Newton per la translació i la rotació.
Per un objecte de massa $m$ i radi $r$ rodolant per un pla inclinat amb un angle $\theta$:
$$m a = mg \sin \theta – f_s$$
El moment d’inèrcia $I$ de l’objecte rodant al voltant del seu eix de rotació és:
$$\tau = I \alpha$$
La força de fregament estàtica $f_s$ proporciona el parell:
$$f_s r = I \alpha$$
L’acceleració angular $\alpha$ està relacionada amb l’acceleració del centre de masses $a$ per:
$$\alpha = \frac{a}{r}$$
Moment d’inèrcia:
$$I = \frac{1}{2} m r^2$$
Equacions de moviment:
$$f_s r = \frac{1}{2} m r^2 \left( \frac{a}{r} \right)$$
$$f_s = \frac{1}{2} m a$$
$$m a = mg \sin \theta – f_s$$
$$m a = mg \sin \theta – \frac{1}{2} m a$$
$$a \left( m + \frac{1}{2} m \right) = mg \sin \theta$$
$$\frac{3}{2} m a = mg \sin \theta$$
$$a = \frac{2}{3} g \sin \theta$$
Força de fregament:
$$f_s = \frac{1}{2} m a = \frac{1}{2} m \left( \frac{2}{3} g \sin \theta \right) = \frac{1}{3} mg \sin \theta$$
Acceleració angular:
$$\alpha = \frac{a}{r} = \frac{\frac{2}{3} g \sin \theta}{r} = \frac{2 g \sin \theta}{3r}$$
Moment d’inèrcia:
$$I = \frac{2}{5} m r^2$$
Equacions de moviment:
$$f_s r = \frac{2}{5} m r^2 \left( \frac{a}{r} \right)$$
$$f_s = \frac{2}{5} m a$$
$$m a = mg \sin \theta – f_s$$
$$m a = mg \sin \theta – \frac{2}{5} m a$$
$$a \left( m + \frac{2}{5} m \right) = mg \sin \theta$$
$$\frac{7}{5} m a = mg \sin \theta$$
$$a = \frac{5}{7} g \sin \theta$$
Força de fregament:
$$f_s = \frac{2}{5} m a = \frac{2}{5} m \left( \frac{5}{7} g \sin \theta \right) = \frac{2}{7} mg \sin \theta$$
Acceleració angular:
$$\alpha = \frac{a}{r} = \frac{\frac{5}{7} g \sin \theta}{r} = \frac{5 g \sin \theta}{7r}$$
Moment d’inèrcia:
$$I = \frac{2}{3} m r^2$$
Equacions de moviment:
$$f_s r = \frac{2}{3} m r^2 \left( \frac{a}{r} \right)$$
$$f_s = \frac{2}{3} m a$$
$$m a = mg \sin \theta – f_s$$
$$m a = mg \sin \theta – \frac{2}{3} m a$$
$$a \left( m + \frac{2}{3} m \right) = mg \sin \theta$$
$$\frac{5}{3} m a = mg \sin \theta$$
$$a = \frac{3}{5} g \sin \theta$$
Força de fregament:
$$f_s = \frac{2}{3} m a = \frac{2}{3} m \left( \frac{3}{5} g \sin \theta \right) = \frac{2}{5} mg \sin \theta$$
Acceleració angular:
$$\alpha = \frac{a}{r} = \frac{\frac{3}{5} g \sin \theta}{r} = \frac{3 g \sin \theta}{5r}$$
Moment d’inèrcia:
$$I = m r^2$$
Equacions de moviment:
$$f_s r = m r^2 \left( \frac{a}{r} \right)$$
$$f_s = m a$$
$$m a = mg \sin \theta – f_s$$
$$m a = mg \sin \theta – m a$$
$$a \left( m + m \right) = mg \sin \theta$$
$$2m a = mg \sin \theta$$
$$a = \frac{1}{2} g \sin \theta$$
Força de fregament:
$$f_s = m a = m \left( \frac{1}{2} g \sin \theta \right) = \frac{1}{2} mg \sin \theta$$
Acceleració angular:
$$\alpha = \frac{a}{r} = \frac{\frac{1}{2} g \sin \theta}{r} = \frac{g \sin \theta}{2r}$$
Objecte | Força de Fregament $f_s$ | Acceleració Angular $\alpha$ | Acceleració del Centre de Masses $a$ |
---|---|---|---|
Cilindre Massís | $\frac{1}{3} mg \sin \theta$ | $\frac{2 g \sin \theta}{3r}$ | $\frac{2}{3} g \sin \theta$ |
Esfera Massissa | $\frac{2}{7} mg \sin \theta$ | $\frac{5 g \sin \theta}{7r}$ | $\frac{5}{7} g \sin \theta$ |
Escorça Esfèrica | $\frac{2}{5} mg \sin \theta$ | $\frac{3 g \sin \theta}{5r}$ | $\frac{3}{5} g \sin \theta$ |
Cilindre Buit | $\frac{1}{2} mg \sin \theta$ | $\frac{g \sin \theta}{2r}$ | $\frac{1}{2} g \sin \theta$ |
Aquestes expressions es poden utilitzar per determinar la força de fregament estàtica, l’acceleració angular i l’acceleració del centre de masses per diferents objectes rodants sobre un pla inclinat.