Problema estàtica plataforma giratòria

Problema estàtica plataforma giratòria
25 de juny de 2024 No hi ha comentaris Física Oscar Alex Fernandez Mora

Una noia de 40 kg de massa que va a una velocitat de 1,8 m/s salta sobre una plataforma giratòria de 2,5 m de radi i 150 kg de massa que es troba en repòs. Determineu la velocitat angular final del sistema format per la plataforma i la noia, si suposem que aquesta salta tangencialment a la plataforma per un punt de la seva perifèria i s’hi queda.

Per determinar la velocitat angular final del sistema format per la plataforma i la noia, hem de fer servir el principi de conservació del moment angular. Aquest principi estableix que el moment angular total d’un sistema aïllat es conserva si no hi ha forces externes que generin un parell.

Dades donades

  • Massa de la noia, $m = 40 \, \text{kg}$
  • Velocitat de la noia, $v = 1.8 \, \text{m/s}$
  • Radi de la plataforma, $R = 2.5 \, \text{m}$
  • Massa de la plataforma, $M = 150 \, \text{kg}$

Moment d’inèrcia de la plataforma

Assumim que la plataforma és un disc sòlid:
$$I_{\text{plataforma}} = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot (2.5)^2 = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 6.25 = 468.75 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$

Moment angular inicial de la noia

El moment angular $L$ es calcula com:
$$L = m v R$$
$$L_{\text{noia}} = 40 \cdot 1.8 \cdot 2.5 = 180 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$$

Moment d’inèrcia del sistema final

Quan la noia salta sobre la plataforma i es queda a la perifèria, el moment d’inèrcia total del sistema és la suma del moment d’inèrcia de la plataforma i el moment d’inèrcia de la noia (considerada com un punt massiu a una distància ( R ) del centre):
$$I_{\text{total}} = I_{\text{plataforma}} + m R^2$$
$$I_{\text{total}} = 468.75 + 40 \cdot (2.5)^2$$
$$I_{\text{total}} = 468.75 + 40 \cdot 6.25$$
$$I_{\text{total}} = 468.75 + 250$$
$$I_{\text{total}} = 718.75 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$

Conservació del moment angular

El moment angular inicial del sistema és el moment angular de la noia, ja que la plataforma està en repòs:
$$L_{\text{inicial}} = L_{\text{noia}} = 180 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$$

El moment angular final del sistema, després que la noia salti sobre la plataforma, es calcula com:
$$L_{\text{final}} = I_{\text{total}} \omega$$

Atès que el moment angular es conserva:
$$L_{\text{inicial}} = L_{\text{final}}$$
$$180 = 718.75 \cdot \omega$$

Resolem per $\omega$:
$$\omega = \frac{180}{718.75}$$
$$\omega \approx 0.2505 \, \text{rad/s}$$

Resultat Final

La velocitat angular final del sistema format per la plataforma i la noia és aproximadament:
$$\omega \approx 0.2505 \, \text{rad/s}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *