LEMNISCATA
Matemàtiques
Una noia de 40 kg de massa que va a una velocitat de 1,8 m/s salta sobre una plataforma giratòria de 2,5 m de radi i 150 kg de massa que es troba en repòs. Determineu la velocitat angular final del sistema format per la plataforma i la noia, si suposem que aquesta salta tangencialment a la plataforma per un punt de la seva perifèria i s’hi queda.
Per determinar la velocitat angular final del sistema format per la plataforma i la noia, hem de fer servir el principi de conservació del moment angular. Aquest principi estableix que el moment angular total d’un sistema aïllat es conserva si no hi ha forces externes que generin un parell.
Assumim que la plataforma és un disc sòlid:
$$I_{\text{plataforma}} = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot (2.5)^2 = \frac{1}{2} \cdot 150 \cdot 6.25 = 468.75 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$
El moment angular $L$ es calcula com:
$$L = m v R$$
$$L_{\text{noia}} = 40 \cdot 1.8 \cdot 2.5 = 180 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$$
Quan la noia salta sobre la plataforma i es queda a la perifèria, el moment d’inèrcia total del sistema és la suma del moment d’inèrcia de la plataforma i el moment d’inèrcia de la noia (considerada com un punt massiu a una distància ( R ) del centre):
$$I_{\text{total}} = I_{\text{plataforma}} + m R^2$$
$$I_{\text{total}} = 468.75 + 40 \cdot (2.5)^2$$
$$I_{\text{total}} = 468.75 + 40 \cdot 6.25$$
$$I_{\text{total}} = 468.75 + 250$$
$$I_{\text{total}} = 718.75 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$
El moment angular inicial del sistema és el moment angular de la noia, ja que la plataforma està en repòs:
$$L_{\text{inicial}} = L_{\text{noia}} = 180 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$$
El moment angular final del sistema, després que la noia salti sobre la plataforma, es calcula com:
$$L_{\text{final}} = I_{\text{total}} \omega$$
Atès que el moment angular es conserva:
$$L_{\text{inicial}} = L_{\text{final}}$$
$$180 = 718.75 \cdot \omega$$
Resolem per $\omega$:
$$\omega = \frac{180}{718.75}$$
$$\omega \approx 0.2505 \, \text{rad/s}$$
La velocitat angular final del sistema format per la plataforma i la noia és aproximadament:
$$\omega \approx 0.2505 \, \text{rad/s}$$