Probabilitats de la colibacil·losi en lloros

La colibacil·losi és una malaltia que afecta els lloros. En un centre veterinari, s’estima en un 40% la proporció de lloros portadors de la malaltia. Es fa un test diagnòstic de la malaltia entre els lloros del centre veterinari. Quan un loro és portador de la malaltia, el test dona positiu en el 90% dels casos. Si el loro no és portador de la malaltia, el test dona negatiu en el 85% dels casos. Es tria un loro a l’atzar del centre veterinari. Calculeu: a) La probabilitat que el loro sigui portador de la malaltia i el seu test done positiu. b) La probabilitat que el test done positiu. c) La probabilitat que el loro sigui portador de la malaltia, si sabem que ha donat negatiu en el test.

Definim les probabilitats:

• \( P(P) = 0.4 \): probabilitat que un loro sigui portador.

• \( P(\neg P) = 0.6 \): probabilitat que no ho sigui.

• \( P(T^+ | P) = 0.9 \): probabilitat que el test doni positiu si és portador.

• \( P(T^- | \neg P) = 0.85 \): probabilitat que el test doni negatiu si no és portador.

• \( P(T^- | P) = 0.1 \): probabilitat que el test doni negatiu si és portador.

• \( P(T^+ | \neg P) = 0.15 \): probabilitat que el test doni positiu si no és portador

a) Probabilitat que el loro sigui portador i el test doni positiu:\[ P(P \cap T^+) = P(P) \cdot P(T^+ | P) = 0.4 \cdot 0.9 = 0.36 \]

b) Probabilitat que el test doni positiu:\[ P(T^+) = P(T^+ | P) \cdot P(P) + P(T^+ | \neg P) \cdot P(\neg P) \]\[ P(T^+) = (0.9 \cdot 0.4) + (0.15 \cdot 0.6) = 0.36 + 0.09 = 0.45 \]

c) Probabilitat que el loro sigui portador, sabent que el test ha donat negatiu:\[ P(P | T^-) = \frac{P(T^- | P) \cdot P(P)}{P(T^-)} \]Calculem \( P(T^-) \):\[ P(T^-) = P(T^- | P) \cdot P(P) + P(T^- | \neg P) \cdot P(\neg P) \]\[ P(T^-) = (0.1 \cdot 0.4) + (0.85 \cdot 0.6) = 0.04 + 0.51 = 0.55 \]Aleshores:\[ P(P | T^-) = \frac{0.1 \cdot 0.4}{0.55} = \frac{0.04}{0.55} \approx 0.0727 \]

Respostes finals:

a) 0.36

b) 0.45

c) 0.0727