Probabilitat i malalties

El $75\%$ dels pacients d’un hospital van donar positiu per a xarampió, i el $68\%$ positiu per a coronavirus. El percentatge de pacients que van donar positiu per a xarampió havent estat positius per a coronavirus és del $85\%$. Si en Joan sap que és positiu per a xarampió, quina probabilitat té de haver estat positiu per a coronavirus?

Per resoldre aquest problema, podem fer servir el teorema de Bayes, que ens permet calcular la probabilitat condicional d’un esdeveniment $A$ atès que ha passat un esdeveniment $B$, utilitzant les probabilitats condicionals inverses.

Sigui $S$ l’esdeveniment “positiu per a xarampió” i $C$ l’esdeveniment “positiu per a coronavirus”. Volem calcular la probabilitat que Joan sigui positiu per a coronavirus, atès que ja sabem que és positiu per a xarampió, és a dir, $P(C|S)$.

Podem utilitzar la fórmula de Bayes:

$$P(C|S) = P(S|C) \cdot \frac{P(C)}{P(S)}$$

On $P(S|C)$ és la probabilitat de ser positiu per a xarampió atès que és positiu per a coronavirus, que sabem que és $0.85$. $P(C)$ és la probabilitat de ser positiu per a coronavirus, que és $0.68$. I $P(S)$ és la probabilitat de ser positiu per a xarampió, que és $0.75$.

Substituint els valors:

$$P(C|S) = 0.85 \cdot\frac{0.68}{0.75} = 0.77$$

Per tant, la probabilitat que en Joan sigui positiu per a coronavirus, atès que ja sabem que és positiu per a xarampió, és del 77%.