Problema sobre urnes

Una urna conté dues monedes de plata i tres de coure. Una altra urna conté quatre monedes de plata i tres de coure. Si es tria una urna a l’atzar i se’n treu una moneda a l’atzar, quina és la probabilitat que la moneda extreta sigui de plata?

Primer, hem de calcular la probabilitat de triar cada urna, considerant que hi ha dues urnes. Si anomenem l’urna amb dues monedes de plata i tres de coure com a “U1” i l’altra urna com a “U2”, llavors:

$P(U1) = 1/2$ (ja que hi ha dues urnes)
$P(U2) = 1/2$

Després, hem de calcular la probabilitat d’extreure una moneda de plata de cada urna. Denotem aquest esdeveniment com a “M”:

$P(M|U1) = 2/5$ (ja que hi ha dues monedes de plata a l’urna U1)
$P(M|U2) = 4/7$ (ja que hi ha quatre monedes de plata a l’urna U2)
Ara podem utilitzar el teorema de la probabilitat total per calcular la probabilitat d’extreure una moneda de plata:

$$P(M)=P(U1)\cdot P(M∣U1)+P(U2)\cdot P(M∣U2)=(1/2)\cdot (2/5)+(1/2)\cdot (4/7)=17/35$$