Canó i projectil

Un canó de $5000$ kg dispara un projectil de $40$ kg amb una velocitat inicial horitzontal de $300$ m/s des d’un penya-segat a una altura de $60$ m sobre el nivell del mar. El canó està inicialment en repòs sobre una plataforma horitzontal fixada a terra i el coeficient de fregament entre el canó i la plataforma és $\mu = 0.2$. Calculeu: a) La velocitat del canó immediatament després que surti el projectil. b) L’espai recorregut pel canó sobre la plataforma com a conseqüència del tret. c) L’energia cinètica amb què arriba el projectil a l’aigua.

a) La velocitat del canó immediatament després que surti el projectil.

La quantitat de moviment total del sistema (canó + projectil) es conserva. Abans del tret, el canó està en repòs, de manera que la quantitat de moviment total és zero. Després del tret, la quantitat de moviment total ha de seguir sent zero. Per tant, la velocitat del canó immediatament després que surti el projectil serà:

$$m_c \cdot v_c + m_p \cdot v_p = 0$$

on $m_c$ i $m_p$ són les masses del canó i del projectil, respectivament, i $v_c$ i $v_p$ són les seves respectives velocitats. Com que el canó està inicialment en repòs, la fórmula es redueix a:

$$m_p \cdot v_p = -m_c \cdot v_c$$

$$v_c = -m_p \cdot \frac{v_p}{m_c}$$

Substituïm les dades del problema i obtenim:

$$v_c = -40\ \text{kg} \cdot \frac{300\ \text{m/s}}{5000\ \text{kg}} = -2.4\ \text{m/s}$$

La velocitat del canó immediatament després que surti el projectil és de $2.4$ m/s en sentit contrari al del tret.