Càlcul angle entre dos plans

Per calcular l’angle entre dos plans en l’espai, primerament has de trobar el vector normal de cadascun dels plans. A continuació, pots utilitzar la fórmula de l’angle entre dos vectors per trobar l’angle entre els vectors normals.

La fórmula de l’angle entre dos vectors és:

$$\boxed{\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}}$$

On $a$ i $b$ són els dos vectors i $\theta$ és l’angle entre ells.

Per tant, per calcular l’angle entre dos plans:

1. Troba els vectors normals de cada pla.
2. Utilitza la fórmula de l’angle entre dos vectors per trobar l’angle entre els vectors normals.
   

Per exemple, suposem que volem trobar l’angle entre els plans: $\pi_1: x – 2y + 3z = 4$ i $\pi_2: 2x + y – z = 5$

Per trobar el vector normal de $\pi_1$, simplement has de mirar els coeficients de $x$, $y$ i $z$ i escriure-los en forma de vector: $n_1 = (1, -2, 3)$

De manera similar, per trobar el vector normal de $\pi_2$: $n_2 = (2, 1, -1)$

Ara, utilitzem la fórmula de l’angle entre dos vectors per trobar l’angle entre els vectors normals:

$$\cos(\theta) = \frac{n_1 \cdot n_2}{|n1| \cdot |n2|}
= \frac{1\cdot2 + (-2)1 + 3(-1)}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2}}\cdot\sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2}
= \frac{-2}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}\thickapprox -0.284$$

Per tant, l’angle entre els dos plans és:

$$\theta = \arccos(-0.284)
≈ 103.9°$$

Per tant, l’angle entre els dos plans és d’aproximadament $103.9$ graus.