Integral impròpia

Una integral impròpia en format es pot escriure de la següent manera:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx$$

On $a$ i $b$ són els límits d’integració i $f(x)$ és la funció que es vol integrar. Per exemple, la integral impròpia següent:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$$

Per calcular aquesta integral, haurem de fer servir la fórmula general per a integrar una fracció amb un exponent negatiu:

$$\int \frac{1}{x^n} dx = \frac{x^{1-n}}{1-n}+C$$

On $n$ és el exponent de la fracció i $C$ és una constant d’integració. Aplicant aquesta fórmula a la nostra integral, obtindríem:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{x^{1-2}}{1-2} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{x^{-1}}{-1} dx = \int_{1}^{\infty} -x^{-1} dx$$

Ara, per calcular l’integral, haurem d’aplicar el límit inferior i superior a la constant d’integració $C$. Com a límit inferior tenim $1$, i com a límit superior tenim l’infinit, així que l’integral quedarà com:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = -x^{-1} \Big|_{1}^{\infty} = -(\infty^{-1}) + (1^{-1}) = \boxed{-1}$$

Això vol dir que la integral de $1/x^2$ desde $1$ fins a l’infinit és igual a $-1$.