Integral impròpia

Integral impròpia
15 de desembre de 2022 No hi ha comentaris Càlcul, Matemàtiques Oscar Alex Fernandez Mora

Una integral impròpia en format es pot escriure de la següent manera:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx$$

On $a$ i $b$ són els límits d’integració i $f(x)$ és la funció que es vol integrar. Per exemple, la integral impròpia següent:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$$

Per calcular aquesta integral, haurem de fer servir la fórmula general per a integrar una fracció amb un exponent negatiu:

$$\int \frac{1}{x^n} dx = \frac{x^{1-n}}{1-n}+C$$

On $n$ és el exponent de la fracció i $C$ és una constant d’integració. Aplicant aquesta fórmula a la nostra integral, obtindríem:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{x^{1-2}}{1-2} dx = \int_{1}^{\infty} \frac{x^{-1}}{-1} dx = \int_{1}^{\infty} -x^{-1} dx$$

Ara, per calcular l’integral, haurem d’aplicar el límit inferior i superior a la constant d’integració $C$. Com a límit inferior tenim $1$, i com a límit superior tenim l’infinit, així que l’integral quedarà com:

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = -x^{-1} \Big|_{1}^{\infty} = -(\infty^{-1}) + (1^{-1}) = \boxed{-1}$$

Això vol dir que la integral de $1/x^2$ desde $1$ fins a l’infinit és igual a $-1$.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *