Problema d’optimització. Resistència de flexió.

La resistència de flexió d’una biga de secció rectangular és directament proporcional a la base i directament proporcional, també, al quadrat de l’altura d’aquesta secció. Calcula les dimensions que ha de tenir la secció rectangular d’una biga fabricada a partir del tronc cilíndric d’un arbre que fa un metre de diàmetre per tal que tingui una resistència de flexió màxima.

Anomenen $x$ a la base i $y$ a l’altura. Construïm la restricció i la funció a optimitzar, i ens queda com:

$$x^2+y^2 = 1$$, d’aquí aïllem, per exemple, la $y^2$, tot obtenint: $$y^2=1-x^2$$

Com que la funció a optimitzar és:

$$f(x)=kxy^2=kx(1-x^2)=kx-kx^3$$ derivant obtenim: $$f'(x) = k-3kx^2$$ i si igualem a zero i aïllem el valor d’$x$ obtenim:

$$f'(x) = 0 \longrightarrow k-3x^2 = 0 \longrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{3}}$$, per comprovar que és un màxim fem servir el criteri de la segona derivada, i avaluem aquest valor d’$x$

$$f”(x) = -6kx \longrightarrow f”(\frac{1}{3}) <0 \longrightarrow\text{és un màxim}$$

Ara només ens queda trobar els valors de la base i l’altura, substituint a l’equació del principi.

$$x= \frac{1}{3}$$ $$y=\frac{2}{3}$$

La base ha de ser $x= \frac{1}{3}$ i l’altura ha de ser $y=\frac{2}{3}$.