Examen selectivitat Catalunya. Juny de 2014 – Sèrie 3 – Qüestió 2

Calculeu el punt simètric del punt $A$ respecte de la recta d’equació.

$$r:\left( x,y,z \right)=\left( 3+\lambda,1,3-\lambda \right)$$

1r pas: Busquem l’equació del pla $\pi’$ que passa pel punt $A$ i que és perpendicular a $r$. Com a vector normal podem fer servir el vector director de r, és a dir $\left( 1,0,−1 \right)$.

Per tant és un pla d’equació $x-z+D=0$, i si ha de passar per $A=\left(1,2,3\right)$, aleshores $D=2$. Per tant:

$$\pi’:\;x-z+2=0$$
2n pas: Calculem el punt intersecció $A’$ del pla $\pi’$ amb la recta $r$, substituint l’equació paramètrica de la recta en l’equació del pla.

$$(3+\lambda)- (3-\lambda)+2=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-1 \quad\Rightarrow\quad A’=\left( 2,1,4 \right)$$
3r pas: Calculem el punt $A”$ simètric del punt $A$ respecte de la recta $r$ fent:

$$A”=A’+\vec{AA’}=\left( 2,1,4 \right)+\left( 1,-1,1 \right)=\boxed{\left( 3,0,5 \right)}$$