Examen selectivitat Catalunya. Juny de 2014 – Sèrie 3 – Qüestió 2
20 de gener de 2023 No hi ha comentaris General Oscar Alex Fernandez Mora

Considereu el punt $A=\left( 1,2,3 \right)$.

Calculeu el punt simètric del punt $A$ respecte de la recta d’equació.

$$r:\left( x,y,z \right)=\left( 3+\lambda,1,3-\lambda \right)$$

1r pas: Busquem l’equació del pla $\pi’$ que passa pel punt $A$ i que és perpendicular a $r$. Com a vector normal podem fer servir el vector director de r, és a dir $\left( 1,0,−1 \right)$.

Per tant és un pla d’equació $x-z+D=0$, i si ha de passar per $A=\left(1,2,3\right)$, aleshores $D=2$. Per tant:

$$\pi’:\;x-z+2=0$$
2n pas: Calculem el punt intersecció $A’$ del pla $\pi’$ amb la recta $r$, substituint l’equació paramètrica de la recta en l’equació del pla.

$$(3+\lambda)- (3-\lambda)+2=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-1 \quad\Rightarrow\quad A’=\left( 2,1,4 \right)$$
3r pas: Calculem el punt $A”$ simètric del punt $A$ respecte de la recta $r$ fent:

$$A”=A’+\vec{AA’}=\left( 2,1,4 \right)+\left( 1,-1,1 \right)=\boxed{\left( 3,0,5 \right)}$$

Calculeu el punt simètric del punt A respecte del pla que té per equació

$$\pi: x+y+z=3$$

1r pas: Busquem l’equació de la recta $r’$ que passa pel punt $A$ i que és perpendicular a $\pi$. Com a vector director podem fer servir el vector normal de $\pi$, és a dir $\left( 1,1,1 \right)$. Per tant l’equació vectorial d’aquesta recta serà:

$$r’:\left( x,y,z \right)=\left( 1+\lambda,2+\lambda,3+\lambda \right)$$
2n pas: Calculem el punt intersecció $B’$ del pla $\pi$ amb la recta $r’$, substituint l’equació paramètrica de la recta en l’equació del pla.

$$(1+\lambda)+(2+\lambda)+(3+\lambda)=3 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-1 \quad\Rightarrow\quad B’=\left( 0,1,2 \right)$$
3r pas: Calculem el punt $B”$ simètric del punt $B$ respecte del pla $\pi$ fent:

$$B”=B’+\vec{AB’}=\left( 0,1,2 \right)+\left( -1,-1,-1 \right)=\boxed{\left( -1,0,1 \right)}$$

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *