Examen selectivitat Catalunya. Juny de 2014 – Sèrie 3 – Qüestió 5

Siguin $r$ i $s$ les rectes de $\mathbb{R}^3$ d’equacions $\displaystyle r:\frac{x-2}{3}=y=\frac{z+1}{4}$ i $s: \left( x,y,z \right) = \left(1+2\alpha,3-\alpha,4+3\alpha \right)$, amb $\alpha \in \mathbb{R}$

Comproveu que els punts mitjans dels segments que tenen un extrem situat sobre la recta $r$ i l’altre extrem situat sobre la recta $s$ formen un pla.

Si fem servir les equacions paramètriques, un punt $R$ de la recta $r$ i un punt $S$ de la recta $s$ es poden expressar com:

$$R \left( 2+3\beta,\beta,-1+4\beta \right)$$
$$S \left( 1+2\alpha,3-\alpha,4+3\alpha \right)$$
El punt mitjà $M\left( x,y,z \right)$ entre els punts $R$ i $S$ serà:

$$\displaystyle \begin{align} \left( x,y,z \right) &=\left( \frac{3+2\alpha+3\beta}{2} , \frac{3-\alpha+\beta}{2} , \frac{3+3\alpha+4\beta}{2} \right) \\[8pt] &=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right) + \alpha\left(\frac{2}{2},\frac{-1}{2},\frac{3}{2}\right) + \beta\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{4}{2}\right) \end{align}$$
Aquesta última equació és l’equació d’un pla que passa pel punt $\displaystyle\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)$ i que té vectors directors $\left(2,-1,3\right)$ i $\left(3,1,4\right)$.

Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma $Ax + By + Cz = D$) del pla de l’apartat anterior.

$$\displaystyle \begin{align} \left| \begin{array}{r} x-\frac{3}{2}&2&3 \\ y-\frac{3}{2}&-1&1 \\ z-\frac{3}{2}&3&4 \end{array} \right| = 0 \quad & \Rightarrow\quad 7 \left( x-\frac{3}{2} \right) -1 \left( y-\frac{3}{2} \right) -5 \left( z-\frac{3}{2} \right) = 0 \\[8pt] & \Rightarrow\quad 7x-y-5z=\frac{3}{2} \end{align}$$