Juny de 2000 – Sèrie 1 – Qüestió 3. Catalunya

Resposta oberta, per exemple qualsevol de les dues equacions amb el terme independent canviat.
\begin{equation}
2x-3y+z=1
\end{equation}

b) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui compatible indeterminat. Resoleu el sistema que s’obtingui.

Resposta oberta, per exemple qualsevol equació proporcional a una de les de l’enunciat.

\begin{equation}
4x-6y+2=8
\end{equation}

El sistema és compatible indeterminat amb rang $M = rang\ M’ = 2$ i el nombre de incògnites és $n = 3$. Per tant haurem d’expressar dues de les incògnites en funció de la tercera que actuarà de paràmetre. Podem fer servir, per exemple, el mètode de Cramer.

\begin{equation}
\left. \begin{array}{rrrrrrr} 3x&–&2y&=&5&-&z \\ 2x&–&3y&=&4&-&z \end{array}\right\rbrace
\end{equation}

\begin{align} \Delta & = \left| \begin{array}{rr} 3&–2 \\ 2&–3 \end{array} \right| = -5 \\ \Delta_x & = \left| \begin{array}{rr} 5-z&–2 \\ 4-z&–3 \end{array} \right| = -7+z \Rightarrow x=\displaystyle\frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{7-z}{5}\\ \Delta_y & = \left| \begin{array}{rr} 3&5-z \\ 2&4-z \end{array} \right| = 2-z\Rightarrow y=\displaystyle\frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{z-2}{5} \end{align}