Equacions matricials

Resolgui l’equació matricial $AX + B = A^2$, sent les matrius

$$A = \left (
\begin {array} {ccc}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end {array}
\right);
B = \left (
\begin {array} {ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & 3
\end {array}
\right)$$

$AX+B=A^2$
$AX=A^2 – B$
$A^{-1} \cdot AX=A^{-1} \cdot (A^2 – B)$
$I \cdot X=A^{-1} \cdot (A^2 – B)$
$X=A^{-1} \cdot (A^2 – B)$

hem de calcular la inversa de la matriu $A$ obtenint:
$$A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right)$$

A més a més hem de calcular:
$$A^2-B = (A \cdot A) -B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right)- \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{array} \right)$$

$$X=A^{-1} \cdot (A^2 – B)=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & -2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & -2 & -2\end{array} \right)$$