LEMNISCATA
Matemàtiques
Etiqueta: càlcul
Etiqueta: càlcul
Problema sobre sèries numèriques
Estudieu la convergència de la la de la sèrie $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}},$$ Per estudiar la convergència de la sèrie $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos^2(k)}{\sqrt{k}},$$ farem servir el criteri de comparació i les propietats de les funcions trigonomètriques. Pas 1: Anàlisi de $\cos^2(k)$ La funció $\cos(k)$ és oscil·lant, per tant, el seu quadrat, $\cos^2(k)$, oscil·la entre $0$ i $1$. Per
Read MoreIntegrals irracionals
Calcula la integral $$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx$$ En aquest cas, és una integral racional. Factoritzarem el denominador i descompondrem la fracció en fraccions simples. Com$x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)^2$ tenim: $$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}=$$$$=\frac{A(x-2)^2+B(x-1)(x-2)+C(x-1)}{(x-1)(x-2)^2}$$ Donem ara valors per a $x$ al numerador: $$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+\frac{-1}{(x-2)^2}$$D’aquesta manera: $$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx=\int\frac{-1}{x-1}dx+\int\frac{2}{x-2}dx+\int\frac{-1}{(x-2)^2}dx=$$$$=\boxed{-\ln(x-1)+2\ln(x-2)+\frac{1}{x-2}+C}$$
Read MoreExamen Selectivitat Matemàtiques II 1 de juliol 2020
Calculau les dimensions d’una capsa amb les dues tapes de base quadrangular de volum $64$ metres cúbics de superfície mínima. Comprovau que la solució obtinguda és un mínim. Consideri las rectes $$r \equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{m}=z \qquad \quad s \equiv \left\{x+nz = -2 \atop y -z = -3\right.$$ Troba els valors de $m$ i $n$ per als
Read MoreExamen de matemàtiques II 26 de juny de 2020
Considera el següent sistema d’equacions $$\left.\begin{array}{ccc}x+3y-\beta z & = & -3 \\2x+(\beta-5)y+z & = & 4\beta+2 \\4x+(\beta-1)y-3z & = & 4\end{array}\right\}$$ Discuteix el sistema pels diferents valors de $\beta$ Hi ha algun valor de $\beta$ per al qual $x=1$, $y=–3$, $z=–1$ sigui l’única solució del sistema? Resol el sistema per al cas o casos en
Read MoreProblema 4 examen de matemàtiques CCSS de 18 de juny de 2020
Un nutricionista, després de fer un estudi personalitzat a un pacient, li proposa una dieta. Segons el model del nutricionista, el pes en kilograms del pacient seguirà la funció $$f(x) = \frac{63x+510}{6+x}$$ en què $x$ denota el nombre de mesos que fa que segueix la dieta Justifiqueu que la funció $f(x)$ és estrictament decreixent quan
Read MoreProblema 3 examen de matemàtiques CCSS 18 de juny de 2020
Un comerciant pot comprar articles a $350$ euros la unitat. Si els ven a $750$ euros la unitat, en ven $30$. Sabem que la relació entre aquestes dues variables (el preu de venda i el nombre d’unitats venudes) és lineal i que, per cada descompte de $20$ euros en el preu de venda, incrementa les
Read MoreCàlcul de l’àrea entre dues funcions
Calcula l’àrea compresa entre les funcions $f(x)=x^2$ i la funció $g(x)=x$. Primer ens caldrà trobar els punts de tall de les dues funcions. Ens caldrà resoldre l’equació: $$x^2=x \rightarrow x(x-1)=0\rightarrow x=0; x=1$$Fixeu-vos que podem interpretar l’àrea com la resta de dues integrals definides: $$A_{regió}=\left|\int_{0}^{1} x dx\right|-\left|\int_{0}^{1} x^2 dx\right|=\left|\left[\frac{x^2}{2}\right]{0}^{1}\right|-\left|\left[\frac{x^3}{3}\right]{0}^{1}\right|=\frac{1}{6}$$
Read MoreProblema 3 examen matemàtiques II 5 juny 2020
Determina un punto de la curva de ecuación $y = x e^{-x^2}$ en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima. Per calcular la pendent en funció d’$x$ haurem de fer la derivada: $$y’ = 1\cdot e^{-x^2}+x\cdot e^{-x^2}\cdot(-2x)$$ Ordenant l’equació i traient factor comú ens queda: $$y’ = e^{-x^2}\cdot(1-2x^2)$$ Per fer màxima la
Read MoreProblema 5 examen matemàtiques CCSS 04.06.2020
Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función $$B(t) =\left\{\begin{array}{lcr}at – t^2 & si & 0 \leq t \leq 6 \\ 2t & si & 6 < t \leq10 \end{array}\right.$$ siendo $t$ el tiempo transcurrido en años. Calcule el valor del
Read MoreProblema 4 examen Matemàtiques CCSS 04.06.2020
Calcule la ecuación de la recta tangente a $y=\frac{1}{x-1}$ en el punto de abcisa $x=2$ La recta tangente en $x=2$ viene dada por la fórmula:$$y-y(2) = y'(2) (x-2)$$Si la aplicamos a la función $y=\frac{1}{x-1}$ debemos calcular antes: $y(2)=\frac{1}{2-1} =1$$$y'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2} \longrightarrow y'(2)=\frac{-1}{(2-1)^2}=-1$$Por tanto quedaría:$$y-1 = (-1) (x-2)$$ ¿En qué punto de la gráfica de la función
Read More- 1
- 2