Etiqueta: càlcul

Etiqueta: càlcul

Integrals irracionals
8 de maig de 2022 General Oscar Alex Fernandez Mora

Calcula la integral $$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx$$ En aquest cas, és una integral racional. Factoritzarem el denominador i descompondrem la fracció en fraccions simples. Com$x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)^2$ tenim: $$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}=$$$$=\frac{A(x-2)^2+B(x-1)(x-2)+C(x-1)}{(x-1)(x-2)^2}$$ Donem ara valors per a $x$ al numerador: Si $x=2$, llavors $-1=C$. Si $x=1$, llavors $-1=A$. Si $x=0$, llavors $1=4A+2B-C\Rightarrow1=-4+2B+1\Rightarrow B=2$.Per tant: $$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+\frac{-1}{(x-2)^2}$$D’aquesta manera: $$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx=\int\frac{-1}{x-1}dx+\int\frac{2}{x-2}dx+\int\frac{-1}{(x-2)^2}dx=$$$$=\boxed{-\ln(x-1)+2\ln(x-2)+\frac{1}{x-2}+C}$$

Read More
Examen Selectivitat Matemàtiques II 1 de juliol 2020
23 de juliol de 2020 General Oscar Alex Fernandez Mora

Calculau les dimensions d’una capsa amb les dues tapes de base quadrangular de volum $64$ metres cúbics de superfície mínima. Comprovau que la solució obtinguda és un mínim. Consideri las rectes $$r \equiv \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{m}=z \qquad \quad s \equiv \left\{x+nz = -2 \atop y -z = -3\right.$$ Troba els valors de $m$ i $n$ per als

Read More
Examen de matemàtiques II 26 de juny de 2020
26 de juny de 2020 General Oscar Alex Fernandez Mora

Considera el següent sistema d’equacions $$\left.\begin{array}{ccc}x+3y-\beta z & = & -3 \\2x+(\beta-5)y+z & = & 4\beta+2 \\4x+(\beta-1)y-3z & = & 4\end{array}\right\}$$ Discuteix el sistema pels diferents valors de $\beta$ Hi ha algun valor de $\beta$ per al qual $x=1$, $y=–3$, $z=–1$ sigui l’única solució del sistema? Resol el sistema per al cas o casos en

Read More
Càlcul de l’àrea entre dues funcions
17 de juny de 2020 General Oscar Alex Fernandez Mora

Calcula l’àrea compresa entre les funcions $f(x)=x^2$ i la funció $g(x)=x$. Primer ens caldrà trobar els punts de tall de les dues funcions. Ens caldrà resoldre l’equació: $$x^2=x \rightarrow x(x-1)=0\rightarrow x=0; x=1$$Fixeu-vos que podem interpretar l’àrea com la resta de dues integrals definides: $$A_{regió}=\left|\int_{0}^{1} x dx\right|-\left|\int_{0}^{1} x^2 dx\right|=\left|\left[\frac{x^2}{2}\right]{0}^{1}\right|-\left|\left[\frac{x^3}{3}\right]{0}^{1}\right|=\frac{1}{6}$$

Read More
Examen Matemàtiques II Covid19 29 de maig 2020
28 de maig de 2020 General Oscar Alex Fernandez Mora

Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva tiene como ecuación $y = \displaystyle\frac{2x+2}{1-x}$ Considera la función f definida por $f(x)=\displaystyle\frac{x^2+3x+4}{2x+2}$ para $x \neq -1$ Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$ Considera el punto

Read More
Problema 6
21 de maig de 2020 General Oscar Alex Fernandez Mora

Sea $P(t)$ el porcentaje de células, de un determinado tejido, afectadas por un cierto tipo de enfermedad transcurrido un tiempo $t$, medido en meses: $$P(t) = \left\{\begin{array}{lcc}t^2 & si & 0 \leq t \leq 5 \\\frac{100t-250}{t+5} & si & t >5\end{array}\right.$$ a) Estudie la continuidad de la función $P$. En $(0,5)$  es continua por ser polinómica  En $(5,+\infty)$  se trata

Read More
Teorema de Rolle
11 de maig de 2020 General Oscar Alex Fernandez Mora

Teorema de Rolle: si una funció és contínua i derivable en un interval i pren valors iguals en els seus extrems, hi ha un punt on la derivada primera s’anul·la. Sigui $f$ una funció que verifqui les següents hipòtesi: Llavors, hi ha un punt $c$ que pertany $(a, b)$ tal que $f'(c) = 0$, és

Read More