LEMNISCATA
Matemàtiques
En $(0,5)$ es continua por ser polinómica
En $(5,+\infty)$ se trata de una función racional que sólo es discontinua en $t = -5$ (punto que anula el denominador), por tanto en $(5,+\infty)$ es continua.
$P(5) =5^2 = 25$
$\displaystyle\lim_{t\to 5^-} P(t) = \lim_{t\to5} t^2 = 5^2=25$
$\displaystyle\lim_{t \to5^+} P(t) = \lim_{t\to5} \frac{100t-250}{t+5} = \frac{250}{10}=25$
Coinciden ambos límites, por tanto es continua en $t = 5$
Derivabilidad en $t = 5$
La función derivada sería:
$P(t)=\left\{\begin{array}{lcc}
2t & si & 0 < t < 5 \\ \frac{750}{(t+5)^2} & si & t >5
\end{array}\right.$
Calculamos derivadas laterales en $t = 5$
$P'(5^{5^-}) =2\cdot5 = 10$
$P'(5^{5^+}) = \frac{750}{(5+5)^2} = 7.5$
lo coinciden las derivadas laterales, por tanto no es derivable en $t = 5$
Dado que se trata de funciones conocidas (parábola e hipérbola), podríamos dibujarla y a vista de la gráfica determinar la monotonía. No obstante, vamos a estudiar la monotonía mediante derivadas, como si se tratase de funciones desconocidas:
En el primer trozo $P(t)=0 \Longrightarrow 2t=0 \Longrightarrow t=0$
El intervalo a estudiar es $(0,5)$. Si tomamos un punto, por ejemplo $t = 2$, vemos que $P(2) = 4 >0$ , por tanto creciente en $(0, 5)$
En el segundo trozo, si hacemos $P(t)=0 \Longrightarrow \frac{750}{(t+5)^2}=0 \Longrightarrow 750=0$, es decir, ninguna solución (lo cual quiere decir que será siempre creciente o siempre decreciente).
Si tomamos un punto, por ejemplo $t = 6$, vemos que $P(6) = \frac{750}{11^2} >0$ , por tanto creciente en $(5,+\infty)$. Concluimos que la función siempre es creciente.
El porcentaje de células sigue creciendo siempre, sin llegar nunca al $100\%$ pues hay una asíntota en $y=100$.
Veamos cuándo el porcentaje es de 50
Debemos mirarlo en el segundo trozo, pues el primero llega como máximo a $5^2 = 25$
$\displaystyle\frac{100t-250}{t+5}=50 \Rightarrow 100t-250=50(t+5) \Rightarrow t=10$
A los 10 meses el porcentaje de células será del $50\%$.