Juny de 2014 – Sèrie 3 – Qüestió 4

Calculeu l’àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de les funcions $y=x^2$, $y=4x^2$ i $y=9$.

La representació de l’àrea demanada és

$x_1$ és l’abscissa del punt d’intersecció de les funcions $y=4x^2$ i $y=9$

$$\displaystyle \left.\begin{array}{r}y=4x^2\\y=9\end{array}\right\rbrace \Longrightarrow\left(\frac{3}{2},9\right) \Longrightarrow x_1=\frac{3}{2}$$

I $x_2$ és l’abscissa del punt d’intersecció de les funcions $y=x^2$ i $y=9$

$$\displaystyle \left.\begin{array}{r}y=x^2\\y=9\end{array}\right\rbrace \Longrightarrow\left(3,9\right) \Longrightarrow x_2=3$$

I l’àrea demanada és

$$\displaystyle \begin{align} \text{Àrea} &=\int^{\frac{3}{2}}_{0} (4x^2-x^2)\,\text{d}x + \int^{3}_{\frac{3}{2}} (9-x^2)\,\text{d}x \\ &=\int^{\frac{3}{2}}_{0} 3x^2\,\text{d}x + \int^{3}_{\frac{3}{2}} (9-x^2) \text{d}x \\ &=\left[ x^3 \right]^{\frac{3}{2}}_{0} + \left[ 9x-\frac{x^3}{3} \right]^{3}_{\frac{3}{2}} \\ &=9\,\text{u}^2 \end{align}$$