Resolució d’un sistema d’equacions lineals amb el mètode de la matriu inversa

Resol el següent sistema d’equacions lineals utilitzant el mètode de la matriu inversa: $$\begin{cases} 4x + 3y + z = 17 \\ x + y – z = 9 \\ 7x + 7y – 6z = 60\end{cases}$$

Escrivim el sistema en forma matricial $AX = B$, on:
$$A = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 7 & 7 & -6 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 17 \\ 9 \\ 60 \end{bmatrix}$$
La solució és $X = A^{-1}B$, on $A^{-1}$ és la matriu inversa de $A$. A continuació, detallem com calcular correctament la matriu inversa $A^{-1}$.

Pas 1: Càlcul de la matriu inversa $A^{-1}$

Per calcular $A^{-1}$, seguim aquests passos:

1. Calcular el determinant de $A$, $\det(A)$.
2. Calcular la matriu de cofactors de $A$.
3. Obtenir la matriu trasposada, que és la transposada de la matriu de cofactors.
4. Aplicar la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)^T$.

1.1. Càlcul del determinant $\det(A)$

Per a una matriu $3 \times 3$:
$$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}, \det(A) = a(ei – fh) – b(di – fg) + c(dh – eg)$$
Amb $A = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 7 & 7 & -6 \end{bmatrix}$:
$$\det(A) = 4[1 \cdot (-6) – (-1) \cdot 7] – 3[1 \cdot (-6) – (-1) \cdot 7] + 1[1 \cdot 7 – 1 \cdot 7]$$

• Primer terme: $4[(-6) – (-7)] = 4[(-6) + 7] = 4 \cdot 1 = 4$
• Segon terme: $-3[(-6) – (-7)] = -3[(-6) + 7] = -3 \cdot 1 = -3$
• Tercer terme: $1[7 – 7] = 1 \cdot 0 = 0$
  $$\det(A) = 4 – 3 + 0 = 1$$
  Com $\det(A) \neq 0$, la matriu $A$ és invertible.

1.2. Càlcul de la matriu de cofactors

La matriu de cofactors es construeix calculant els cofactors $C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(M_{ij})$, on $M_{ij}$ és la submatriu obtinguda eliminant la fila $i$ i la columna $j$.

• $C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & -1 \ 7 & -6 \end{bmatrix} = 1 \cdot [1 \cdot (-6) – (-1) \cdot 7] = 1 \cdot (-6 + 7) = 1$
• $C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & -1 \ 7 & -6 \end{bmatrix} = -1 \cdot (-6 + 7) = -1 \cdot 1 = -1$
• $C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 7 & 7 \end{bmatrix} = 1 \cdot [1 \cdot 7 – 1 \cdot 7] = 1 \cdot (7 – 7) = 0$
• $C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \det\begin{bmatrix} 3 & 1 \ 7 & -6 \end{bmatrix} = -1 \cdot [3 \cdot (-6) – 1 \cdot 7] = -1 \cdot (-18 – 7) = -1 \cdot (-25) = 25$
• $C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \det\begin{bmatrix} 4 & 1 \ 7 & -6 \end{bmatrix} = 1 \cdot [4 \cdot (-6) – 1 \cdot 7] = 1 \cdot (-24 – 7) = -31$
• $C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \det\begin{bmatrix} 4 & 3 \ 7 & 7 \end{bmatrix} = -1 \cdot [4 \cdot 7 – 3 \cdot 7] = -1 \cdot (28 – 21) = -7$
• $C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \det\begin{bmatrix} 3 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix} = 1 \cdot [3 \cdot (-1) – 1 \cdot 1] = 1 \cdot (-3 – 1) = -4$
• $C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \det\begin{bmatrix} 4 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix} = -1 \cdot [4 \cdot (-1) – 1 \cdot 1] = -1 \cdot (-4 – 1) = -1 \cdot (-5) = 5$
• $C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \det\begin{bmatrix} 4 & 3 \ 1 & 1 \end{bmatrix} = 1 \cdot [4 \cdot 1 – 3 \cdot 1] = 1 \cdot (4 – 3) = 1$

Matriu de cofactors:
$$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 25 & -31 & -7 \\ -4 & 5 & 1 \end{bmatrix}$$

1.3. Càlcul de la matriu adjunta

La matriu adjunta $\text{adj}(A)$ és la transposada de la matriu de cofactors:
$$\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 25 & -4 \\ -1 & -31 & 5 \\ 0 & -7 & 1 \end{bmatrix}$$

1.4. Càlcul de la matriu inversa

La fórmula per a la inversa és:
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$$
Com $\det(A) = 1$:
$$A^{-1} = \frac{1}{1} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 25 & -4 \\ -1 & -31 & 5 \\ 0 & -7 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 25 & -4 \\ -1 & -31 & 5 \\ 0 & -7 & 1 \end{bmatrix}$$

Pas 2: Càlcul de la solució $X = A^{-1}B$

Multipliquem $A^{-1}$ per $B$:
$$X = \begin{bmatrix} 1 & 25 & -4 \\ -1 & -31 & 5 \\ 0 & -7 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 17 \\ 9 \\ 60 \end{bmatrix}$$

• Primera fila ($x$): $1 \cdot 17 + 25 \cdot 9 + (-4) \cdot 60 = 17 + 225 – 240 = 2$
• Segona fila ($y$): $(-1) \cdot 17 + (-31) \cdot 9 + 5 \cdot 60 = -17 – 279 + 300 = 4$
• Tercera fila ($z$): $0 \cdot 17 + (-7) \cdot 9 + 1 \cdot 60 = 0 – 63 + 60 = -3$

Així:
$$X = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix}$$

Pas 3: Verificació

Substituïm $x = 2$, $y = 4$, $z = -3$ a les equacions originals:

• Primera equació: $4x + 3y + z = 4 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + (-3) = 8 + 12 – 3 = 17$
• Segona equació: $x + y – z = 2 + 4 – (-3) = 2 + 4 + 3 = 9$
• Tercera equació: $7x + 7y – 6z = 7 \cdot 2 + 7 \cdot 4 – 6 \cdot (-3) = 14 + 28 + 18 = 60$

Totes les equacions es compleixen.

Resposta Final

La solució del sistema és:
$$x = 2, \quad y = 4, \quad z = -3$$
$$\boxed{(2, 4, -3)}$$