Juny de 2013 – Sèrie 4 – Qüestió 4

Es vol construir un canal que tingui com a secció un trapezi isòsceles de manera que l’amplària superior del canal sigui el doble de l’amplària inferior i que els costats no paral·lels siguin de 8 metres. A la dreta teniu un esquema de la secció del canal.

a) Trobeu el valor del segment $L$ de la gràfica en funció de la variable $x$ (amplària inferior del canal).

Degut a que és un trapezi isòsceles, és simètric i es verifica

$$\displaystyle 2x=L+x+L \quad\Rightarrow\quad L=\frac{x}{2}$$

b) Sabem que l’àrea d’un trapezi és igual a l’altura multiplicada per la semisuma de les bases. Comproveu que, en aquest cas, l’àrea de la secció és donada per $\displaystyle A(x)= \frac{3x\sqrt{256-x^2}}{4}$

Com ens recorda l’enunciat, l’àrea d’un trapezi és

$$\displaystyle A=\frac{\left(B+b \right) h }{2}$$

Si apliquem el Teorema de Pitàgoras a un dels triangles rectangles del dibuix, podem aillar h en funció de $x$

$$\displaystyle h^2+L^2=8^2 \quad\Rightarrow\quad h^2+\frac{x^2}{4}=64 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{1}{2}\sqrt{256-x^2}$$

D’aquesta manera l’àrea es pot expressar en funció de $x$

$$\displaystyle A(x)=\frac{\left( B+b \right) h}{2} = \frac{\left( 2x+x \right) \sqrt{256-x^2}}{4} = \frac{ 3x \sqrt{256-x^2}}{4}$$

c) Calculeu el valor de $x$ perquè l’àrea de la secció del canal sigui màxima (no cal que comproveu que és realment un màxim).

Derivem la funció $A(x)$

$$\displaystyle \begin{align} A'(x) & = \frac{ 3 \sqrt{256-x^2}}{4} + \frac{3x}{4} \cdot \frac{-2x}{2 \sqrt{256-x^2}} \\ & = \frac{3}{4} \left( \sqrt{256-x^2} – \frac{x^2}{\sqrt{256-x^2}} \right) \end{align}$$

I igualem la derivada a zero

$$\displaystyle \begin{align} A'(x)=0 & \Rightarrow \frac{3}{4} \left( \sqrt{256-x^2} – \frac{x^2}{\sqrt{256-x^2}} \right) = 0 \\[10pt] & \Rightarrow \sqrt{256-x^2} = \frac{x^2}{\sqrt{256-x^2}} \\[10pt] & \Rightarrow x^2=128 \\[10pt] & \Rightarrow x= \pm 8\sqrt{2} \end{align}$$

Com que $x$ ha de ser una distància, no pot ser negativa, per tant

$$x= 8\sqrt{2}$$