Optimització de la producció de rellotges per maximitzar el benefici diari. Programació lineal

Dos models de rellotges, A i B, es produeixen en una fàbrica on hi treballen 12 persones, cadascuna amb una jornada laboral de 8 hores diàries. El model A triga 3 hores a fabricar-se i proporciona un benefici de 70 euros. El model B triga 6 hores a fabricar-se i proporciona un benefici de 160 euros. La producció diària ha de ser com a mínim de 15 rellotges, amb la condició que el nombre d’unitats del model B sigui com a màxim la meitat del nombre d’unitats del model A.

Per maximitzar el benefici diari:

a) Formular el problema de programació lineal corresponent.
b) Representar la regió factible.
c) Quants rellotges de cada tipus convé produir al dia per obtenir el màxim benefici diari? A quant ascendeix aquest benefici?

---

a) Formular el problema de programació lineal

Definició de variables:

• $x$: Nombre de rellotges del model A produïts diàriament.
• $y$: Nombre de rellotges del model B produïts diàriament.

Funció objectiu (maximitzar el benefici):

• El model A genera $70$ euros per rellotge i el model B $160$ euros per rellotge.
• Funció a maximitzar: $Z = 70x + 160y$.

Restriccions:

Disponibilitat d’hores de treball:

• Hi ha 12 persones treballant 8 hores diàries, és a dir, $12 \times 8 = 96$ hores diàries.
• Cada rellotge A requereix 3 hores i cada rellotge B requereix 6 hores.
• Restricció: $3x + 6y \leq 96$.
• Simplificant: $x + 2y \leq 32$.

Producció mínima diària:

• Cal produir almenys 15 rellotges en total.
• Restricció: $x + y \geq 15$.

Relació entre models A i B:

• El nombre de rellotges B ha de ser com a màxim la meitat del nombre de rellotges A.
• Restricció: $y \leq \frac{1}{2}x$ o, equivalentment, $x \geq 2y$.

No negativitat:

• No es poden produir quantitats negatives de rellotges.
• Restriccions: $x \geq 0$, $y \geq 0$.

Formulació completa del problema:
$$\begin{aligned}
&\text{Maximitzar } Z = 70x + 160y \\
&\text{Subjecte a:} \\
&\quad x + 2y \leq 32 \\
&\quad x + y \geq 15 \\
&\quad x \geq 2y \\
&\quad x \geq 0, \, y \geq 0
\end{aligned}$$

---

b) Representar la regió factible

Per representar la regió factible, identifiquem les restriccions com a rectes en el pla ( (x, y) ) i trobem la regió que satisfà totes les desigualtats.

Ecuacions de les restriccions:

Restricció d’hores de treball: $x + 2y \leq 32$

• Ecuació: $x + 2y = 32$.
• Interseccions:
  • Si $x = 0$: $2y = 32 \implies y = 16$. Punt: $(0, 16)$.
  • Si $y = 0$: $x = 32$. Punt: $(32, 0)$.

Restricció de producció mínima: $x + y \geq 15$

• Ecuació: $x + y = 15$.
• Interseccions:
  • Si $x = 0$: $y = 15$. Punt: $(0, 15)$.
  • Si $y = 0$: $x = 15$. Punt: $(15, 0)$.

Restricció de relació entre models: $x \geq 2y$

• Ecuació: $x = 2y$.
• Passa pel punt $(0, 0)$ i, per exemple, $(10, 5)$ (si $y = 5$, llavors $x = 2 \times 5 = 10$).

Punts d’intersecció (vèrtexs de la regió factible):
Resolem els sistemes d’equacions per trobar els vèrtexs:

Intersecció de $x + 2y = 32$ i $x = 2y$:

• Substituïm $x = 2y$ en $x + 2y = 32$:
  $$2y + 2y = 32 \implies 4y = 32 \implies y = 8 \implies x = 2y = 16.$$
• Punt: $(16, 8)$.
• Verifiquem $x + y \geq 15$: $16 + 8 = 24 \geq 15$ (compleix).

Intersecció de $x + 2y = 32$ i $x + y = 15$:

• Ecuacions:
  $$x + 2y = 32 \quad (1)$$
  $$x + y = 15 \quad (2)$$
• Restem (2) de (1): $(x + 2y) – (x + y) = 32 – 15 \implies y = 17$.
• Substituïm ( y = 17 ) en (2): $x + 17 = 15 \implies x = -2$.
• Punt: $(-2, 17)$. Com que $x < 0$, no compleix $x \geq 0$.

Intersecció de $x + y = 15$ i $x = 2y$:

• Substituïm $x = 2y$ en $x + y = 15$:
  $$2y + y = 15 \implies 3y = 15 \implies y = 5 \implies x = 2y = 10.$$
• Punt: $(10, 5)$.
• Verifiquem $x + 2y \leq 32$: $10 + 2 \times 5 = 10 + 10 = 20 \leq 32$ (compleix).

Altres punts possibles (eixos i restriccions):

• Quan $y = 0$, $x + 2y = 32 \implies x = 32$. Punt: $(32, 0)$.
  • Verifiquem: $x + y = 32 + 0 = 32 \geq 15$ (compleix), $x \geq 2y \implies 32 \geq 0$ (compleix).
• Quan $x = 0$, $x + y = 15 \implies y = 15$. Punt: $(0, 15)$.
  • Verifiquem: $x + 2y = 0 + 2 \times 15 = 30 \leq 32$ (compleix), però $x \geq 2y \implies 0 \geq 30$ (no compleix).
• Quan $y = 0$, $x + y = 15 \implies x = 15$. Punt: $(15, 0)$.
  • Verifiquem: $x + 2y = 15 + 0 = 15 \leq 32$ (compleix), $x \geq 2y \implies 15 \geq 0$ (compleix).

Vèrtexs de la regió factible:
Els punts que compleixen totes les restriccions són:

• $(15, 0)$
• $(32, 0)$
• $(16, 8)$
• $(10, 5)$

---

c) Quants rellotges produir i quin és el benefici màxim

Per trobar el màxim benefici, avaluem la funció objectiu $Z = 70x + 160y$ en els vèrtexs de la regió factible:

1. Vèrtex $(15, 0)$:
   $$Z = 70 \times 15 + 160 \times 0 = 1050 \, \text{euros}.$$
2. Vèrtex $(32, 0)$:
   $$Z = 70 \times 32 + 160 \times 0 = 2240 \, \text{euros}.$$
3. Vèrtex $(16, 8)$:
   $$Z = 70 \times 16 + 160 \times 8 = 1120 + 1280 = 2400 \, \text{euros}.$$
4. Vèrtex $(10, 5)$:
   $$Z = 70 \times 10 + 160 \times 5 = 700 + 800 = 1500 \, \text{euros}.$$

Solució òptima:

• El màxim benefici s’obté al vèrtex $(16, 8)$, amb un benefici de $2400$ euros.
• Producció: $16$ rellotges del model A i $8$ rellotges del model B.

Verificació:

• Hores: $3 \times 16 + 6 \times 8 = 48 + 48 = 96 \leq 96$ (compleix).
• Producció total: $16 + 8 = 24 \geq 15$ (compleix).
• Relació: $y = 8 \leq \frac{16}{2} = 8$ (compleix, $x = 2y$).

---

Resposta final

• a) El problema de programació lineal és:
  $$\begin{aligned}
  &\text{Maximitzar } Z = 70x + 160y \\
  &\text{Subjecte a:} \\
  &\quad x + 2y \leq 32 \\
  &\quad x + y \geq 15 \\
  &\quad x \geq 2y \\
  &\quad x \geq 0, \, y \geq 0
  \end{aligned}$$
• b) La regió factible és un polígon amb vèrtexs en $(15, 0)$, $(32, 0)$, $(16, 8)$, $(10, 5)$. La gràfica es pot veure en el codi proporcionat anteriorment.
• c) Per maximitzar el benefici, cal produir $16$ rellotges del model A i $8$ rellotges del model B, obtenint un benefici màxim de $2400$ euros.