Determinació de la quantitat de peces de Lego per tipus mitjançant el mètode de Cramer

Una caixa de Lego conté un total de 50 peces de tres tipus diferents (A, B, C). La quantitat de peces del tipus A més la del tipus B és igual a quatre vegades la quantitat del tipus C. Si a les peces del tipus A li sumem el doble de les peces del tipus B i quatre vegades les del tipus C, el total de peces de la caixa seria de $100$. Plantegeu un sistema d’equacions i resoleu-lo pel mètode de Cramer per determinar la quantitat de peces de cada tipus que contindrà la caixa.

Per plantejar el sistema d’equacions, definim les variables:

• $A$: nombre de peces del tipus A.
• $B$: nombre de peces del tipus B.
• $C$: nombre de peces del tipus C.

A partir de l’enunciat, obtenim les següents equacions:

1. Total de peces:
   $$A + B + C = 50$$
2. Relació entre A, B i C:
   $$A + B = 4C$$
3. Condició de la suma ponderada:
   $$A + 2B + 4C = 100$$

Reescrivim el sistema en forma estàndard:

$$\begin{cases}
A + B + C = 50 \\
A + B – 4C = 0 \\
A + 2B + 4C = 100
\end{cases}$$

Resolució pel mètode de Cramer

Representem el sistema com $AX = B$, on:

$$A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -4 \\
1 & 2 & 4
\end{bmatrix}, \quad
X = \begin{bmatrix}
A \\
B \\
C
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
50 \\
0 \\
100
\end{bmatrix}$$

Les solucions són:

$$A = \frac{\det(A_A)}{\det(A)}, \quad B = \frac{\det(A_B)}{\det(A)}, \quad C = \frac{\det(A_C)}{\det(A)}$$

Determinant de $A$:

$$\det(A) = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -4 \\
1 & 2 & 4
\end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 4 – (-4) \cdot 2) – 1 \cdot (1 \cdot 4 – (-4) \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 2 – 1 \cdot 1)$$

$$= 1 \cdot (4 + 8) – 1 \cdot (4 + 4) + 1 \cdot (2 – 1) = 12 – 8 + 1 = 5$$

Determinant de $A_A$:

Substituïm la primera columna per $B$:

$$A_A = \begin{bmatrix}
50 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -4 \\
100 & 2 & 4
\end{bmatrix}$$

$$\det(A_A) = \begin{vmatrix}
50 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -4 \\
100 & 2 & 4
\end{vmatrix} = 50 \cdot (1 \cdot 4 – (-4) \cdot 2) – 1 \cdot (0 \cdot 4 – (-4) \cdot 100) + 1 \cdot (0 \cdot 2 – 1 \cdot 100)$$

$$= 50 \cdot (4 + 8) – 1 \cdot (0 + 400) + 1 \cdot (0 – 100) = 50 \cdot 12 – 400 – 100 = 600 – 400 – 100 = 100$$

Determinant de $A_B$:

Substituïm la segona columna per $B$:

$$A_B = \begin{bmatrix}
1 & 50 & 1 \\
1 & 0 & -4 \\
1 & 100 & 4
\end{bmatrix}$$

$$\det(A_B) = \begin{vmatrix}
1 & 50 & 1 \\
1 & 0 & -4 \\
1 & 100 & 4
\end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 4 – (-4) \cdot 100) – 50 \cdot (1 \cdot 4 – (-4) \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 100 – 0 \cdot 1)$$

$$= 1 \cdot (0 + 400) – 50 \cdot (4 + 4) + 1 \cdot (100 – 0) = 400 – 50 \cdot 8 + 100 = 400 – 400 + 100 = 100$$

Determinant de $A_C$:

Substituïm la tercera columna per $B$:

$$A_C = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 50 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 100
\end{bmatrix}$$

$$\det(A_C) = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 50 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 100
\end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 100 – 0 \cdot 2) – 1 \cdot (1 \cdot 100 – 0 \cdot 1) + 50 \cdot (1 \cdot 2 – 1 \cdot 1)$$

$$= 1 \cdot (100 – 0) – 1 \cdot (100 – 0) + 50 \cdot (2 – 1) = 100 – 100 + 50 \cdot 1 = 50$$

Càlcul de les solucions:

$$A = \frac{\det(A_A)}{\det(A)} = \frac{100}{5} = 20$$

$$B = \frac{\det(A_B)}{\det(A)} = \frac{100}{5} = 20$$

$$C = \frac{\det(A_C)}{\det(A)} = \frac{50}{5} = 10$$

Resposta final:

La caixa conté:

• $20$ peces del tipus A.
• $20$ peces del tipus B.
• $10$ peces del tipus C.