Càlcul àrea

Sigui $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ la funció definida per $g(x) = -x^2 + 6x – 5$.
a) Trobar l’equació de la recta normal a la gràfica de $g$ en el punt d’abscissa $x = 4$.
b) Esbossar el recinte limitat per la gràfica de $g$ i la recta $x – 2y + 2 = 0$. Calcular l’àrea d’aquest recinte.

Part (a): Trobar l’equació de la recta normal a la gràfica de \( g(x) = -x^2 + 6x – 5 \) en el punt d’abscissa \( x = 4 \).

1. **Trobar la derivada de \( g(x) \):**
La derivada de la funció \( g(x) = -x^2 + 6x – 5 \) ens donarà la pendent de la recta tangent en qualsevol punt \( x \).

\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 6x – 5) = -2x + 6
\]

2. **Trobar la pendent de la recta tangent en \( x = 4 \):**
Substituïm \( x = 4 \) en \( g'(x) \):

\[
g'(4) = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2
\]

La pendent de la recta tangent en el punt \( x = 4 \) és \( m_t = -2 \).

3. **Trobar el punt de la gràfica de \( g(x) \) en \( x = 4 \):**
Ara, calculem el valor de \( g(4) \) per obtenir les coordenades del punt de la gràfica en \( x = 4 \).

\[
g(4) = -(4)^2 + 6(4) – 5 = -16 + 24 – 5 = 3
\]

El punt de la gràfica en \( x = 4 \) és \( (4, 3) \).

4. **Trobar la pendent de la recta normal:**
La pendent de la recta normal és l’oposada i recíproca de la pendent de la recta tangent. Si la pendent de la recta tangent és \( m_t = -2 \), la pendent de la recta normal serà:

\[
m_n = \frac{1}{2}
\]

5. **Trobar l’equació de la recta normal:**
L’equació d’una recta amb pendent \( m_n \) passant pel punt \( (x_0, y_0) \) es pot escriure com:

\[
y – y_0 = m_n(x – x_0)
\]

Substituïm el punt \( (4, 3) \) i la pendent \( m_n = \frac{1}{2} \):

\[
y – 3 = \frac{1}{2}(x – 4)
\]

Simplificant l’equació:

\[
y – 3 = \frac{1}{2}x – 2
\]
\[
y = \frac{1}{2}x + 1
\]

Per tant, l’equació de la recta normal és:

\[
y = \frac{1}{2}x + 1
\]

Part (b): Esbossar el recinte limitat per la gràfica de \( g(x) \) i la recta \( x – 2y + 2 = 0 \). Calcular l’àrea d’aquest recinte.

1. **Reescriure l’equació de la recta \( x – 2y + 2 = 0 \):**
Despejant \( y \):

\[
x – 2y + 2 = 0 \implies 2y = x + 2 \implies y = \frac{x}{2} + 1
\]

Per tant, l’equació de la recta és \( y = \frac{x}{2} + 1 \).

2. **Trobar els punts d’intersecció entre la gràfica de \( g(x) \) i la recta \( y = \frac{x}{2} + 1 \):**
Igualem les dues expressió de \( y \):

\[
-x^2 + 6x – 5 = \frac{x}{2} + 1
\]

Multipliquem tot per 2 per eliminar el denominador:

\[
-2x^2 + 12x – 10 = x + 2
\]

Simplifiquem:

\[
-2x^2 + 12x – 10 – x – 2 = 0
\]
\[
-2x^2 + 11x – 12 = 0
\]

Resolem aquesta equació quadràtica amb la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
on \( a = -2 \), \( b = 11 \) i \( c = -12 \). Substituïm els valors:

\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 – 4(-2)(-12)}}{2(-2)}
\]
\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 – 96}}{-4}
\]
\[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{25}}{-4}
\]
\[
x = \frac{-11 \pm 5}{-4}
\]

Això dona dues solucions:

\[
x = \frac{-11 + 5}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2}
\]
i
\[
x = \frac{-11 – 5}{-4} = \frac{-16}{-4} = 4
\]

Per tant, els punts d’intersecció són \( x = \frac{3}{2} \) i \( x = 4 \).

3. **Trobar les coordenades dels punts d’intersecció:**

Substituïm \( x = \frac{3}{2} \) i \( x = 4 \) en l’equació \( y = \frac{x}{2} + 1 \):

– Per \( x = \frac{3}{2} \):

\[
y = \frac{\frac{3}{2}}{2} + 1 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}
\]

El punt d’intersecció és \( \left( \frac{3}{2}, \frac{7}{4} \right) \).

– Per \( x = 4 \):

\[
y = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3
\]

El punt d’intersecció és \( (4, 3) \).

4. **Calcular l’àrea del recinte:**

L’àrea entre les dues corbes es pot calcular mitjançant la integral de la diferència entre les funcions \( g(x) \) i \( y = \frac{x}{2} + 1 \) en el rang de \( x \) de \( \frac{3}{2} \) a 4:

\[
\text{Àrea} = \int_{\frac{3}{2}}^4 \left( g(x) – \left( \frac{x}{2} + 1 \right) \right) dx
\]

\[
g(x) = -x^2 + 6x – 5
\]
\[
y = \frac{x}{2} + 1
\]

La diferència és:

\[
g(x) – \left( \frac{x}{2} + 1 \right) = -x^2 + 6x – 5 – \left( \frac{x}{2} + 1 \right) = -x^2 + 6x – 5 – \frac{x}{2} – 1
\]

Simplifiquem:

\[
= -x^2 + \frac{11x}{2} – 6
\]

L’àrea es calcula com:

\[
\int_{\frac{3}{2}}^4 \left( -x^2 + \frac{11x}{2} – 6 \right) dx = \frac{125}{48} \approx 2.604
\]