Cabal mitjà de la sang i equació de continuïtat

El cabal mitjà de la sang que circula en un tram d’un got sanguini que no presenta ramificacions és de $1$ litre per minut. Densitat aproximada de la sang $1$ kg/l. a) Quina és la velocitat mitjana de la sang en un tram en què vas sanguini té un radi interior de $0,5$ cm? b) I si el radi interior del vas sanguini és de $0,25$ cm?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem la relació entre el cabal $Q$, la velocitat $v$ i l’àrea de la secció transversal $A$ del vas sanguini. La relació és:

$$Q = A \cdot v$$

On l’àrea de la secció transversal per a un vas circular és:

$$A = \pi r^2$$

Dades donades:

• Cabal mitjà $Q = 1$ litre per minut $= \frac{1}{60}$ litres/segon $= \frac{1}{60} \times 10^{-3}$ m$^3$/segon $= 1,67 \times 10^{-5}$ m$^3$/s
• Densitat de la sang $\rho:{sang} = 1$ kg/litre $= 1000$ kg/m$^3$

a) Velocitat mitjana de la sang en un tram amb un radi interior de 0,5 cm

Primer, convertim el radi a metres:

$$r = 0,5 \, \text{cm} = 0,005 \, \text{m}$$

Calculem l’àrea de la secció transversal:

$$A = \pi r^2 = \pi (0,005 \, \text{m})^2 = \pi \times 0,000025 \, \text{m}^2 = 7,85 \times 10^{-5} \, \text{m}^2$$

Ara, utilitzem la relació $Q = A \cdot v$ per trobar la velocitat:

$$v = \frac{Q}{A} = \frac{1,67 \times 10^{-5} \, \text{m}^3/\text{s}}{7,85 \times 10^{-5} \, \text{m}^2}$$

Calculant:

$$v = \frac{1,67 \times 10^{-5}}{7,85 \times 10^{-5}} \approx 0,213 \, \text{m/s}$$

b) Velocitat mitjana de la sang en un tram amb un radi interior de $0,25$ cm

Convertim el radi a metres:

$$r = 0,25 \, \text{cm} = 0,0025 \, \text{m}$$

Calculem l’àrea de la secció transversal:

$$A = \pi r^2 = \pi (0,0025 \, \text{m})^2 = \pi \times 0,00000625 \, \text{m}^2 = 1,96 \times 10^{-5} \, \text{m}^2$$

Utilitzem la relació $Q = A \cdot v$ per trobar la velocitat:

$$v = \frac{Q}{A} = \frac{1,67 \times 10^{-5} \, \text{m}^3/\text{s}}{1,96 \times 10^{-5} \, \text{m}^2}$$

Calculant:

$$v = \frac{1,67 \times 10^{-5}}{1,96 \times 10^{-5}} \approx 0,852 \, \text{m/s}$$