Una làmpada basada en díodes emissors de llum (LEDs) està formada per 7 LEDs connectats en sèrie

Una làmpada basada en díodes emissors de llum (LEDs) està formada per $7$ LEDs connectats en sèrie. El fabricant dels LEDs informa que la caiguda de tensió entre l’ànode i el càtode de cada un dels LEDs es pot considerar constant en tot el rang de funcionament i que val $U_{a-c} = 1,5$ V. Es pretén alimentar aquesta làmpada a partir d’una font de tensió que es pot considerar ideal de valor $U = 12$ V. Per aconseguir la il·luminació correcta és necessari que circulin $12$ mA pels LEDs durant el dia i $6$ mA durant la nit. Això s’aconsegueix mitjançant un commutador que connecta una resistència en sèrie amb els LEDs (diferent durant el dia que durant la nit). El fabricant, per minimitzar els costos i utilitzar economia d’escala, vol utilitzar dues resistències iguals (amb el mateix valor òhmic) i fer connexions en sèrie i/o en paral·lel. Quin serà, doncs, el valor més petit possible de cadascuna de les resistències que durà la làmpada?

Per calcular el valor més petit possible de cadascuna de les resistències que durà la làmpada, primer hem de determinar la resistència requerida en cada cas.

Durant el dia, es desitja que circulin 12 mA pels LEDs. La tensió que cau sobre la resistència en sèrie es pot calcular com:

$$V_R = U – V_{LEDs} = 12\,V – 10,5\,V = 1,5\,V$$

On ($U$) és el valor de la font de tensió ($12$ V) i (V_{LEDs}) és la tensió total que cau sobre els $7$ LEDs en sèrie ($10,5$ V).

Utilitzant la Llei d’Ohm, podem determinar la resistència necessària per limitar la corrent a $12$ mA:

$$R_{dia} = \frac{V_R}{I} = \frac{1,5\,V}{12\,mA} = 125\,\Omega$$

Durant la nit, es busca que circulin $6$ mA pels LEDs. Seguint un procediment similar, obtenim:

$$R_{nit} = \frac{V_R}{I} = \frac{1,5\,V}{6\,mA} = 250\,\Omega$$

El fabricant vol utilitzar dues resistències iguals, per la qual cosa hem de trobar el valor més petit que compleixi ambdues condicions. Durant el dia, les resistències s’han de connectar en paral·lel, mentre que durant la nit s’han de connectar en sèrie.

Per calcular la resistència equivalent en paral·lel de dues resistències iguals (R), utilitzem la següent fórmula:

$$R_{eq} = \frac{R}{2}$$

I per calcular la resistència equivalent en sèrie de dues resistències iguals (R), utilitzem:

$$R_{eq} = 2R$$

Per tant, si (R) és el valor més petit possible de la resistència, hem de trobar (R) de manera que es compleixin les dues condicions. Resolent aquestes equacions simultànies, obtenim:

$$R = 125\,\Omega$$

Per tant, el valor més petit possible de cadascuna de les resistències que durà la làmpada és de $125\ \Omega$.