Tensió, deformació i mòdul d’elasticitat

Un aliatge de coure té un mòdul dʻelasticitat de $120$ GPa, un límit elàstic de $260$ MPa i una resistència a tracció de $430$ MPa. Es demana calcular: a) La tensió que es produeix en una barra de $400$ mm de longitud i un allargament de $0,36$ mm, a la zona proporcional elàstica. b) El diàmetre, en mil·límetres, que ha de tenir una barra d’aquest material perquè, sotmesa a una càrrega de tracció de $80$ kN, no experimenti deformacions permanents. c) La mateixa qüestió si s’adopta un coeficient de seguretat de $6$.

Dades proporcionades:

• Mòdul d’elasticitat $E = 120 GPa = 120 \times 10^9$ Pa
• Límit elàstic $\sigma_{e} = 260 MPa = 260 \times 10^6$ Pa
• Resistència a la tracció $\sigma_{t})) = 430 MPa = 430 \times 10^6$ Pa
• Longitud inicial de la barra $L_0 = 400 mm = 0,4$ m
• Allargament $\Delta L = 0,36 mm = 0,36 \times 10^{-3}$ m
• Força de tracció $F = 80 kN = 80 \times 10^3$ N
• Coeficient de seguretat $N_s = 6$

a) Tensió a la barra amb un allargament de $0,36$ mm:

La relació entre la tensió $\sigma$ i la deformació unitaria $\varepsilon$ en la zona elàstica és:

$$\sigma = E \cdot \varepsilon$$

La deformació unitaria $\varepsilon$ és l’allargament relatiu:

$$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{0.36 \times 10^{-3}}{0.4} = 0.0009$$

Ara, calculem la tensió ((\sigma)) utilitzant el valor del mòdul d’elasticitat $E = 120 \times 10^9 \, \text{Pa}$:

$$\sigma = 120 \times 10^9 \, \text{Pa} \times 0.0009 = 108 \times 10^6 \, \text{Pa} = 108 \, \text{MPa}$$

Resposta a) La tensió és de $108$ MPa.

b) Diàmetre de la barra per a evitar deformacions permanents (sense coeficient de seguretat):

Per a evitar deformacions permanents, la tensió aplicada ha de ser menor o igual al límit elàstic $\sigma_e = 260 \, \text{MPa}$.

La tensió ((\sigma)) es relaciona amb la força aplicada ((F)) i l’àrea de la secció transversal ((A)) de la barra de la següent manera:

$$\sigma = \frac{F}{A}$$

L’àrea de la secció transversal d’una barra circular és:

$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$

On $d$ és el diàmetre de la barra. Aïllant $d$ de l’equació de la tensió:

$$d = \sqrt{\frac{4F}{\pi \sigma}}$$

Substituint $F = 80 \times 10^3 \, \text{N}$ i $\sigma = 260 \times 10^6 \, \text{Pa}$:

$$d = \sqrt{\frac{4 \times 80 \times 10^3}{\pi \times 260 \times 10^6}}$$

$$d \approx \sqrt{\frac{320 \times 10^3}{816.8 \times 10^6}} \approx \sqrt{0.0003917} \approx 0.0198 \, \text{m} = 19.8 \, \text{mm}$$

Resposta b) El diàmetre necessari és d’aproximadament $19,8$ mm.

c) Diàmetre de la barra amb un coeficient de seguretat de $6$:

Amb un coeficient de seguretat $N_s$ de $6$, la tensió admissible serà:

$$\sigma_{\text{adm}} = \frac{\sigma_e}{N_s} = \frac{260 \times 10^6}{6} \approx 43.33 \times 10^6 \, \text{Pa} = 43.33 \, \text{MPa}$$

Fem servir novament l’equació del diàmetre, però amb $\sigma_{\text{adm}} = 43.33 \, \text{MPa}$:

$$d = \sqrt{\frac{4F}{\pi \sigma_{\text{adm}}}} = \sqrt{\frac{4 \times 80 \times 10^3}{\pi \times 43.33 \times 10^6}}$$

$$d \approx \sqrt{\frac{320 \times 10^3}{136.17 \times 10^6}} \approx \sqrt{0.002349} \approx 0.0485 \, \text{m} = 48.5 \, \text{mm}$$

Resposta c) El diàmetre necessari amb un coeficient de seguretat de $6$ és d’aproximadament $48,5$ mm.

Resum:

• a) La tensió és de $108 \, \text{MPa}$.
• b) El diàmetre necessari és de $19.8 \, \text{mm}$.
• c) El diàmetre necessari amb un coeficient de seguretat de $6$ és de $48.5 \, \text{mm}$.