LEMNISCATA
Matemàtiques
Un aliatge amb un $75\%$ de Coure i un $25\%$ de Zinc s’ha format per cristal·lització al sistema cúbic centrat a les cares. Sabent que la massa atòmica del Coure és $63$ i la del Zinc és $64$, i que tots dos tenen un radi atòmic $r = 1,35\cdot10^{-10}$ m:
a) Indiqueu el nom pel qual es coneix aquest aliatge i justifiqueu quin dels elements actua
com a dissolvent i quin com a solut.
b) Raoneu la manera com es formen els vidres amb els àtoms de Coure i de zinc.
c) Determineu quants àtoms de cada element conté la cel·la unitària.
d) Calculeu el volum de la cel·la unitària.
L’aliatge amb $75\%$ de coure (Cu) i $25\%$ de zinc (Zn) és conegut com a llautó. El llautó és una aliatge molt utilitzat a la indústria per les seves propietats mecàniques i la resistència a la corrosió.
Justificació: Es considera que el coure és el dissolvent perquè és la major part de l’aliatge i manté la seva estructura cristal·lina, mentre que el zinc es distribueix dins d’aquesta estructura.
L’aliatge cristal·litza en el sistema cúbic centrat en les cares (FCC), cosa que és típica del coure.
En una aliatge substitucional com el llautó, els àtoms de zinc (Zn) substitueixen alguns dels àtoms de coure (Cu) en la xarxa cristal·lina FCC. Això és possible perquè tots dos elements tenen radis atòmics similars (tots dos tenen un radi de $1,35 \times 10^{-10} \, \text{m}$). Aquest tipus d’aliatge es produeix quan els àtoms dels dos metalls són prou semblants en mida i estructura perquè un pugui substituir l’altre sense deformar significativament la xarxa cristal·lina.
En una estructura cúbica centrada en les cares (FCC), hi ha un total de $4$ àtoms per cel·la unitaria. Aquests àtoms estan distribuïts de la següent manera:
Per a un aliatge amb un $75\%$ de coure i $25\%$ de zinc, la proporció d’àtoms en la cel·la unitaria és:
Per tant, cada cel·la unitaria conté $3$ àtoms de coure i $1$ àtom de zinc.
Per a una estructura FCC, la relació entre el paràmetre de xarxa $a$ i el radi atòmic $r$ és:
$$a = \frac{4r}{\sqrt{2}}$$
Com que el radi atòmic de tots dos elements és $r = 1,35 \times 10^{-10} \, \text{m}$, podem calcular el paràmetre de xarxa $a$:
$$a = \frac{4 \times 1,35 \times 10^{-10}}{\sqrt{2}} = \frac{5,4 \times 10^{-10}}{1,414} = 3,818 \times 10^{-10} \, \text{m}$$
Ara, el volum de la cel·la unitaria $V$ es calcula com el cub del paràmetre de xarxa $a$:
$$V = a^3 = (3,818 \times 10^{-10})^3 = 5,56 \times 10^{-29} \, \text{m}^3$$