Q4 Sèrie 5 OPCIÓ A PAU 2008. Selectivitat Catalunya.

Una plataforma circular gira, en un pla horitzontal, respecte d’un eix vertical que passa pel seu centre, a una velocitat de $120\pi \ $rpm (revolucions per minut). Determineu el valor de la distància màxima respecte de l’eix a què pot situar-se una massa sobre la plataforma de manera que giri solidàriament amb aquesta, sense lliscar, sabent que el coeficient de fregament estàtic val $0.5$.

La plataforma circular gira, en un pla horitzontal, respecte d’un eix vertical que passa pel seu centre, a una velocitat de $120\pi$ rpm (revolucions per minut). Determineu el valor de la distància màxima respecte de l’eix a què pot situar-se una massa sobre la plataforma de manera que giri solidàriament amb aquesta, sense lliscar, sabent que el coeficient de fregament estàtic val $05$.

Perquè una massa situada sobre la plataforma giri solidàriament amb aquesta, sense lliscar, la força centrípeta que actua sobre la massa ha de ser igual a la força de fregament estàtic entre la massa i la plataforma.

La força centrípeta que actua sobre la massa és la força que la manté en la trajectòria circular. Aquesta força ve donada per:

$$F_c = m \cdot a_c$$

on $m$ és la massa de la partícula i $a_c$ és l’acceleració centrípeta.

L’acceleració centrípeta es pot calcular com:

on $R$ és la distància entre la massa i l’eix de rotació, i $T$ és el període de rotació.

La força de fregament estàtic entre la massa i la plataforma és:

$$F_f = \mu \cdot N$$

on $\mu$ és el coeficient de fregament estàtic i $N$ és la normal, que és la força perpendicular a la superfície de contacte entre la massa i la plataforma.

Com que la massa no llisca, la normal $N$ és igual al pes de la massa:

$$N = m \cdot g$$

on $g$ és l’acceleració gravitatòria.

Per tant, igualant la força centrípeta i la força de fregament estàtic, tenim:

$$m \cdot a_c = \mu \cdot m \cdot g$$

Cancel·lant la massa $m$ a ambdós costats i reemplaçant l’acceleració centrípeta, obtenim:

$$\frac{(2 \cdot \pi \cdot R)^2}{T^2} = \mu \cdot g$$

Desenvolupant la fórmula per $R$, obtenim:

$$R = T \cdot \frac{\sqrt{\mu \cdot g}}{2 \cdot \pi}$$

Reemplaçant els valors, tenim:

$$R = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0.5 \cdot 9.81 \text{ m/s}^2} \cdot \frac{60 \text{ s/min}}{120\pi \text{ rpm}} \approx 0.308 \text{ m}$$

Per tant, la distància màxima respecte de l’eix a què pot situar-se una massa sobre la plataforma de manera que giri solidàriament amb aquesta, sense lliscar, és d’aproximadament $0.308$ m.