Juny de 2000 – Sèrie 1 – Problema 1. Selectivitat Catalunya

Un terreny té forma de triangle rectangle, els catets mesuren $AB = 60\ m$ i $AC = 45\ m$. En aquest terreny es pot construir una casa de planta rectangular com indica la part ombrejada de la figura següent:

Voleu vendre aquest terreny i us paguen 5000 pessetes per cada metre quadrat no edificable i 25000 pessetes per cada metre quadrat edificable.

a) Determineu la relació que hi ha entre l’amplada x i la profunditat y del rectangle que determina la part edificable.

Podem determinar aquesta relació fent ús de les semblances entre els triangles que apareixen a la figura. Concretament, si ens fixem en el triangle petit de l’esquerra i el triangle total:

$$\displaystyle \frac{y}{60-x} = \frac{45}{60} \Rightarrow 3x + 4y = 180$$

b) Determineu l’expressió que dóna el valor del terreny en funció de l’amplada x del rectangle edificable.

El preu del terreny edificable és:

$$25000xy$$

L’àrea que queda sense edificar és la de tot el terreny triangular, 1350\ m^2, menys la del rectangle edificat. Per tant el preu del terreny no edificable és:

$$5000(1350-xy)$$

El preu total ens queda expressat com a una funció de dues variables:

$$\text{Preu} =6750000 + 20000xy$$

Però, amb l’ajuda de la relació del apartat a, la podrem escriure com una funció de només una variable:

$$\begin{align} \displaystyle 3x + 4y = 180 & \Rightarrow y = 45-\frac{3x}{4} & \Rightarrow\text{Preu}=6750000 +900000x-15000x^2 & \Rightarrow \text{Preu}=15000(-x^2 + 60x +450) \end{align}$$

c) Quines són les dimensions de la part edificable que ens permeten obtenir un valor màxim per a aquest terreny?

Hem de maximitzar la funció preu. Podem ignorar el factor $1500$ per ser una constant positiva i treballar només amb l’expressió que ens queda entre parèntesis. Comencem derivant-la un parell de vegades:

$$f(x)=-x^2 + 60x +450\Rightarrow f'(x)=-2x+60 \Rightarrow f”(x)=-2$$
El màxim d’aquesta funció ha de complir: $f'(x) = 0$. Per tant $x=30$. I per confirmar que efectivament és un màxim hem de veure quin és el signe de la segona derivada quan $x=30$.

$$f”(30)=-2 \lt 0 \Rightarrow f(x) \text{presenta un màxim quan } x=30\ m i y=22.5\ m.$$

d) Quin és aquest valor màxim?

$$6750000 + 20000\cdot30\cdot \text{22.5} = 20250000\ \text{pessetes} $$