problema sobre òrbites geoestacionàries

Ens trobem a la vora del mar i volem llançar una pedra horitzontalment a un metre sobre la superfície de ’aigua de forma que descrigui una `orbita circular estable al voltant de la Terra. Es demana calcular la velocitat a la que cal llançar-la. Compareu-la amb la velocitat de rotació terrestre.

En aquest cas, la pedra es llança a una altura de $1$ metre sobre la superfície de l’aigua, de manera que la distància $r$ entre el centre de la Terra i la pedra és la suma del radi de la Terra ($6371$ km) i l’altura a la qual es troba la pedra ($1$ m). Per tant, $r = 6371001$ metres.

Per calcular la velocitat orbital, necessitem conèixer la massa de la Terra i la constant de gravitació universal de Newton. La massa de la Terra és aproximadament $5.9722 \times 10^{24}$ kg i la constant de gravitació universal de Newton és de $6.6743 \times 10^{-11}$ m$^3$/(kg s$^2$).

Substituint aquests valors a la fórmula de la velocitat orbital, obtenim:

$$v = \sqrt{6.6743 \times 10^{-11}\text{ m}^3/\text{(kg s}^2\text{)} \cdot 5.9722 \times 10^{24}\text{ kg} / 6371001\text{ m}} \approx 7.905 \text{ m/s}$$

Per comparar la velocitat orbital amb la velocitat de rotació terrestre, podem utilitzar la velocitat angular de la Terra, que és aproximadament $7,292 \times 10^{-5}$ radians/s. La velocitat lineal de la superfície terrestre a l’equador es pot calcular utilitzant la següent fórmula:

$$v = \omega \cdot r$$

On $v$ és la velocitat lineal, $\omega$ és la velocitat angular i $r$ és el radi de la Terra.

Substituint els valors, obtenim:

$$v = 7.292 \times 10^{-5} \text{ radians/s} \cdot 6.371\text{ km} \approx 464 \text{ m/s}$$

Per tant, la velocitat orbital de la pedra és molt més baixa que la velocitat de rotació terrestre. Això és perquè l’òrbita circular de la pedra és a una altitud molt baixa respecte a la superfície terrestre, mentre que la velocitat de rotació terrestre es mesura a la superfície de la Terra, on el radi és molt més gran.