Problema selectivitat velocitat d’escapament

Es vol deduir raonadament l’expressió de la velocitat d’escapament d’un cos des de la superfície d’un planeta. La massa i el radi de la Terra són 81 i 3,67 vegades la massa i el radi de la Lluna, respectivament. Es vol determinar quina relació existeix entre les velocitats d’escapament des de les superfícies de la Terra i la Lluna, raonant la resposta. Es desitja posar un satèl·lit artificial en òrbita circular estacionària al voltant de Júpiter, amb el mateix període que el planeta. Un dia a Júpiter és 0,41 vegades un dia terrestre i la massa de Júpiter és 318 vegades la de la Terra.

Es donen les constants:

$$G = 6,67 \times 10^{-11} \; \text{Nm}^2\text{kg}^{-2}, \quad M_J = 1,9 \times 10^{27} \; \text{kg}, \quad T_T = 24 \; \text{h}$$

Cal determinar el radi orbital al voltant de Júpiter i la relació entre els radis orbitals de dos satèl·lits que orbiten estacionàriament al voltant de la Terra i de Júpiter.

La velocitat d’escapament d’un planeta és la velocitat mínima que cal comunicar a un cos de massa $m$ perquè surti del camp gravitatori d’un planeta, és a dir, arribi a l’infinit.

En absència de fregament, s’aplica el principi de conservació de l’energia mecànica:

\begin{equation}
E(A) = E(\infty) \Rightarrow \frac{1}{2} m v_{\text{escape}}^2 – \frac{G M m}{R} = 0
\end{equation}

D’aquesta expressió es dedueix:

\begin{equation}
v_{\text{escape}} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}
\end{equation}

Sabem que:

\begin{equation}
M_T = 81 M_L, \quad R_T = 3,67 R_L
\end{equation}

Així, la relació entre les velocitats d’escapament de la Terra i la Lluna és:

\begin{equation}
\frac{v_{\text{escape,T}}}{v_{\text{escape,L}}} = \sqrt{\frac{81}{3,67}} = \sqrt{22,08} \approx 4,7
\end{equation}

Per tant:

\begin{equation}
v_{\text{escape,T}} \approx 4,7 v_{\text{escape,L}}
\end{equation}

Pel que fa a l’òrbita estacionària al voltant de Júpiter, sabem que:

\begin{equation}
M_J = 318 M_T, \quad T_J = 0,41 T_T = 0,41 \times 86400 \text{ s} = 35424 \text{ s}
\end{equation}

Per determinar el radi orbital, utilitzem:

\begin{equation}
\frac{G M}{R^2} = \frac{4 \pi^2 R}{T^2}
\end{equation}

D’on:

\begin{equation}
R^3 = \frac{G M T^2}{4 \pi^2}
\end{equation}

Substituint valors:

\begin{equation}
R_J = \sqrt[3]{\frac{(6,67 \times 10^{-11}) (1,9 \times 10^{27}) (35424)^2}{4 \pi^2}} \approx 1,59 \times 10^8 \text{ m}
\end{equation}

Finalment, la relació entre els radis orbitals de la Terra i Júpiter és:

\begin{equation}
\frac{R_J}{R_T} = \sqrt[3]{318 \times 0,41^2} \approx 3,76
\end{equation}

Per tant:

\begin{equation}
R_J \approx 3,76 R_T
\end{equation}