Problema pla inclinat. Energia i longitud recorreguda

Un cos es llança cap amunt per un pla inclinat de $30^\circ$ amb una velocitat inicial de $10~m/s$. a) Expliqueu qualitativament com varien les energies cinètica, potencial i mecànica del cos durant la pujada. b) Com variaria la longitud recorreguda si es duplica la velocitat inicial? I si es duplica l’angle del pla?

Com es veu a la figura sobre el cos només actua el pes i la normal a la superfície.

La primera força és conservativa i la segona no realitza treball en ser perpendicular al desplaçament, per la qual cosa podem afirmar que es conserva l’energia mecànica. A mesura que el cos ascendeix pel pla, la seva energia cinètica disminueix i es transforma en energia potencial, que lògicament augmenta.

b}) Com que l’energia cinètica es transforma en energia potencial:

\begin{equation}
\frac{1}{2} m v^2 = mgh
\end{equation}

Per trigonometria, relacionem l’altura assolida $h$ amb la longitud recorreguda pel pla $l$:

\begin{equation}
h = l \sin \theta
\end{equation}

Substituint:

\begin{equation}
\frac{1}{2} v^2 = g l \sin \theta
\end{equation}

Despejant la longitud en funció de la velocitat:

\begin{equation}
l = \frac{v^2}{2g \sin \theta}
\end{equation}

Denotem amb una prima les magnituds que canvien:

\begin{equation}
l’ = \frac{v’^2}{2g \sin \theta}
\end{equation}

Si la velocitat es duplica, es compleix que $v’ = 2v$. Substituint i comparant amb la fórmula original:

\begin{equation}
l’ = \frac{(2v)^2}{2g \sin \theta} = \frac{4v^2}{2g \sin \theta} = 4l
\end{equation}

Per tant, la longitud recorreguda es quadruplica.

Si es duplica l’angle:

\begin{equation}
l’ = \frac{v^2}{2g \sin \theta’}
\end{equation}

\begin{equation}
\theta’ = 2\theta
\end{equation}

\begin{equation}
l’ = \frac{v^2}{2g \sin 2\theta}
\end{equation}

Utilitzant la fórmula de l’angle doble $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$:

\begin{equation}
l’ = \frac{v^2}{2g \cdot 2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{l}{2 \cos \theta}
\end{equation}

Així, la longitud es redueix amb el factor $\frac{1}{2 \cos \theta}$. Ho podem comprovar suposant que l’angle inicial és $30^\circ$:

\begin{equation}
\frac{1}{2\cos 30^\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1,73}{3} \approx 0,58
\end{equation}

Per tant, la longitud recorreguda es redueix a gairebé la meitat.