Problema de canvi de base en espais vectorials

En l’espai vectorial real $\mathbb{R}^3$ es consideren les bases $$B_1 = \{(5,3,1), (1,-3,-2), (1,2,1)\},\ B_2 = \{(-2,1,0), (-1,3,0), (-2,-3,1)\}$$ Calculeu la matriu de canvi de base de $B_1$ a $B_2$.

Per calcular la matriu associada, hem de determinar les coordenades dels vectors de la base $B_2$ respecte als vectors de la base $B_1$, és a dir, cal calcular els $a_{ij} \in \mathbb{R}$ tals que:

\begin{cases}
(-2,1,0) = a_{11}(5,3,1) + a_{21}(1,-3,-2) + a_{31}(1,2,1) = (5a_{11} + a_{21} + a_{31}, 3a_{11} – 3a_{21} + 2a_{31}, a_{11} – 2a_{21} + a_{31}) \\ (-1,3,0) = a_{12}(5,3,1) + a_{22}(1,-3,-2) + a_{32}(1,2,1) = (5a_{12} + a_{22} + a_{32}, 3a_{12} – 3a_{22} + 2a_{32}, a_{12} – 2a_{22} + a_{32}) \\ (-2,-3,1) = a_{13}(5,3,1) + a_{23}(1,-3,-2) + a_{33}(1,2,1) = (5a_{13} + a_{23} + a_{33}, 3a_{13} – 3a_{23} + 2a_{33}, a_{13} – 2a_{23} + a_{33})
\end{cases}

Això condueix a la resolució de tres sistemes d’equacions lineals:

\begin{equation}
\begin{cases}
-2 = 5a_{11} + a_{21} + a_{31} \\
1 = 3a_{11} – 3a_{21} + 2a_{31} \\
0 = a_{11} – 2a_{21} + a_{31}
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
-1 = 5a_{12} + a_{22} + a_{32} \\
3 = 3a_{12} – 3a_{22} + 2a_{32} \\
0 = a_{12} – 2a_{22} + a_{32}
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
-2 = 5a_{13} + a_{23} + a_{33} \\
-3 = 3a_{13} – 3a_{23} + 2a_{33} \\
1 = a_{13} – 2a_{23} + a_{33}
\end{cases}
\end{equation}

Els tres sistemes comparteixen la mateixa matriu de coeficients, així que els podem resoldre simultàniament mitjançant la matriu ampliada:

\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
5 & 1 & 1 & -2 & -1 & -2 \\
3 & -3 & 2 & 1 & 3 & -3 \\
1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right)
\end{equation}

Aplicarem eliminació gaussiana per reduir la matriu a la seva forma esglaonada reduïda:

\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
3 & -3 & 2 & 1 & 3 & -3 \\
5 & 1 & 1 & -2 & -1 & -2
\end{array}
\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 3 & -1 & 1 & 3 & -6 \\
0 & 11 & -4 & -2 & -1 & -7
\end{array}
\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -6 & -13 & 17 \\
0 & 3 & -1 & 1 & 3 & -6
\end{array}
\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 & -6 & -13 & 17 \\
0 & 0 & -1 & -17 & -36 & 45
\end{array}
\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & -2 & 0 & -5 & -10 & 12 \\
0 & -1 & 0 & -6 & -13 & 17 \\
0 & 0 & -1 & -17 & -36 & 45
\end{array}
\right)
\end{equation}

\begin{equation}
\left(
\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -5 & -10 & 12 \\
0 & 1 & 0 & 6 & 13 & -17 \\
0 & 0 & 1 & 17 & 36 & -45
\end{array}
\right)
\end{equation}

Hem resolt els tres sistemes simultàniament i les solucions són:

\begin{equation}
a_{11} = -5, \quad a_{21} = 6, \quad a_{31} = 17
\end{equation}

\begin{equation}
a_{12} = -10, \quad a_{22} = 13, \quad a_{32} = 36
\end{equation}

\begin{equation}
a_{13} = 12, \quad a_{23} = -17, \quad a_{33} = -45
\end{equation}

Així, la matriu de canvi de base de $B_1$ a $B_2$ és:

\begin{equation}
P =
\begin{pmatrix}
-5 & -10 & 12 \\
6 & 13 & -17 \\
17 & 36 & -45
\end{pmatrix}
\end{equation}