Tirador de dards. Aproximació de la binomial a la normal

Un tirador de dards encerta vuit de cada deu llançaments. Utilitzant l’aproximació de la binomial a la normal, troba la probabilitat que de $50$ llançaments encerti $45$.

Aquest problema es pot modelar amb una distribució binomial:

\begin{equation}
X \sim \text{Bin}(n=50, p=0.8)
\end{equation}

on:

• $n = 50$ és el nombre total de llançaments.
• $p = 0.8$ és la probabilitat d’encertar en un llançament.

1. Aproximació normal

Utilitzem la distribució normal per aproximar la binomial:

\begin{equation}
X \approx N(\mu, \sigma)
\end{equation}

on la mitjana i la desviació estàndard són:

\begin{equation}
\mu = n p = 50 \times 0.8 = 40
\end{equation}

\begin{equation}
\sigma = \sqrt{n p (1 – p)} = \sqrt{50 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{8} \approx 2.83
\end{equation}

2. Correcció per continuïtat

Volem calcular la probabilitat d’encertar exactament 45 vegades, és a dir:

\begin{equation}
P(X = 45)
\end{equation}

A causa de la naturalesa discreta de la distribució binomial, fem servir la correcció per continuïtat:

\begin{equation}
P(44.5 \leq X \leq 45.5)
\end{equation}

3. Estandardització

Convertim $X$ a la distribució normal estàndard:

\begin{equation}
Z = \frac{X – \mu}{\sigma}
\end{equation}

Per $X = 44.5$:

\begin{equation}
Z_1 = \frac{44.5 – 40}{2.83} = \frac{4.5}{2.83} \approx 1.59
\end{equation}

Per ( X = 45.5 ):

\begin{equation}
Z_2 = \frac{45.5 – 40}{2.83} = \frac{5.5}{2.83} \approx 1.94
\end{equation}

4. Càlcul de probabilitats

Utilitzem la taula de la distribució normal estàndard:

\begin{equation}
P(Z \leq 1.94) \approx 0.9738
\end{equation}

\begin{equation}
P(Z \leq 1.59) \approx 0.9441
\end{equation}

La probabilitat desitjada és:

\begin{equation}
P(44.5 \leq X \leq 45.5) = P(Z \leq 1.94) – P(Z \leq 1.59)
\end{equation}

\begin{equation}
= 0.9738 – 0.9441 = 0.0297
\end{equation}

5. Resultat final

La probabilitat que el tirador encerti exactament 45 vegades en 50 llançaments és:

\begin{equation}
\mathbf{2.97\%}
\end{equation}