Problema distribució normal

Les puntuacions d’un examen varien entre zero i deu. Si les notes estan normalment distribuïdes amb mitjana $6,7$ ​​i desviació típica $1,2$; troba el percentatge d’estudiants que va tenir una nota compresa entre $5,5$ i $6,5$.

Per trobar el percentatge d’estudiants amb una nota entre 5.5 i 6.5 en una distribució normal amb mitjana $\mu = 6.7$ i desviació estàndard $\sigma = 1.2$, seguim aquests passos:

1. Estandarització dels valors

La variable normal estàndard $Z$ es calcula amb la fórmula:

\begin{equation}
Z = \frac{X – \mu}{\sigma}
\end{equation}

Per ( X = 5.5 ):

\begin{equation}
Z_1 = \frac{5.5 – 6.7}{1.2} = \frac{-1.2}{1.2} = -1
\end{equation}

Per ( X = 6.5 ):

\begin{equation}
Z_2 = \frac{6.5 – 6.7}{1.2} = \frac{-0.2}{1.2} = -0.1667
\end{equation}

2. Càlcul de les probabilitats

Fem servir una taula de la distribució normal estàndard $N(0,1)$:

\begin{equation}
P(Z \leq -1) \approx 0.1587
\end{equation}

\begin{equation}
P(Z \leq -0.1667) \approx 0.4330
\end{equation}

El percentatge d’estudiants amb una nota entre 5.5 i 6.5 és:

\begin{equation}
P(-1 \leq Z \leq -0.1667) = P(Z \leq -0.1667) – P(Z \leq -1)
\end{equation}

\begin{equation}
0.4330 – 0.1587 = 0.2743
\end{equation}

3. Expressió en percentatge

Multipliquem per 100 per obtenir el percentatge:

\begin{equation}
0.2743 \times 100 = 27.43\%
\end{equation}

Conclusió: Aproximadament el 27.43% dels estudiants va obtenir una nota entre 5.5 i 6.5.