Bates. Distribució normal

Una gran empresa ha de reposar les bates dels seus 1000 operaris. Se sap que la talla mitjana és de 170 cm, amb una desviació típica de 3 cm. Les bates es confeccionen en tres talles vàlides per a estatures entre 155 i 165 cm, 165 i 175 cm i, nalment, entre 175 i 185 cm. Quantes bates de cada talla ha d’adquirir?

Una gran empresa ha de reposar les bates dels seus 1000 operaris. Se sap que l’estatura mitjana és de 170 cm, amb una desviació típica de 3 cm. Les bates es confeccionen en tres talles vàlides per a estatures entre:

• 155 i 165 cm (talla petita)
• 165 i 175 cm (talla mitjana)
• 175 i 185 cm (talla gran)

Volem determinar quantes bates de cada talla s’han d’adquirir.

Definim la variable aleatòria $X$, que representa l’estatura d’un operari, i que segueix una distribució normal:

\begin{equation}
X \sim N(170, 3^2)
\end{equation}

Per trobar la proporció d’operaris en cada rang d’estatures, transformem $X$ a la variable normal estàndard $Z$:

\begin{equation}
Z = \frac{X – \mu}{\sigma}
\end{equation}

on $\mu = 170$ cm i $\sigma = 3$ cm.

Càlcul de les probabilitats

Talla petita ($155 \leq X < 165$):

\begin{equation}
Z_1 = \frac{155 – 170}{3} = \frac{-15}{3} = -5
\end{equation}

\begin{equation}
Z_2 = \frac{165 – 170}{3} = \frac{-5}{3} \approx -1.67
\end{equation}

Consultant la taula de la normal:

\begin{equation}
P(Z \leq -5) \approx 0, \quad P(Z \leq -1.67) \approx 0.0475
\end{equation}

\begin{equation}
P(155 \leq X < 165) = 0.0475 – 0 = 0.0475
\end{equation}

Talla mitjana ($165 \leq X < 175$):

\begin{equation}
Z_3 = \frac{175 – 170}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67
\end{equation}

\begin{equation}
P(165 \leq X < 175) = P(Z \leq 1.67) – P(Z \leq -1.67)
\end{equation}

De la taula de la normal:

\begin{equation}
P(Z \leq 1.67) \approx 0.9525, \quad P(Z \leq -1.67) \approx 0.0475
\end{equation}

\begin{equation}
P(165 \leq X < 175) = 0.9525 – 0.0475 = 0.905
\end{equation}

\textbf{Talla gran} (( 175 \leq X \leq 185 )):

\begin{equation}
Z_4 = \frac{185 – 170}{3} = \frac{15}{3} = 5
\end{equation}

\begin{equation}
P(175 \leq X \leq 185) = P(Z \leq 5) – P(Z \leq 1.67)
\end{equation}

De la taula:

\begin{equation}
P(Z \leq 5) \approx 1, \quad P(Z \leq 1.67) \approx 0.9525
\end{equation}

\begin{equation}
P(175 \leq X \leq 185) = 1 – 0.9525 = 0.0475
\end{equation}

Càlcul del nombre de bates

Com que hi ha 1000 operaris, el nombre de bates de cada talla és:

\begin{equation}
\text{Talla petita} = 1000 \times 0.0475 = 47.5 \approx 48
\end{equation}

\begin{equation}
\text{Talla mitjana} = 1000 \times 0.905 = 905
\end{equation}

\begin{equation}
\text{Talla gran} = 1000 \times 0.0475 = 47.5 \approx 48
\end{equation}

Conclusió

L’empresa ha d’adquirir aproximadament:

• $48$ bates de talla petita.
• $905$ bates de talla mitjana.
• $48$ bates de talla gran.