Aproximació binomial a normal

Segons un estudi realitzat a la Comunitat de Múrcia, el $75\%$ del voluntariat de la regió són dones. Amb motiu de preparar la festa del Dia Internacional del Voluntari se seleccionen $1000$ a l’atzar d’entre els $11000$ voluntaris existents actualment. Quina probabilitat hi ha que almenys $260$ siguin homes?

Definim la variable aleatòria $X$ com el nombre d’homes en la mostra de $1000$ voluntaris. Aquesta segueix una distribució binomial:

\begin{equation}
X \sim \text{Bin}(1000, p)
\end{equation}

on $p$ és la proporció d’homes en la població de voluntaris. Com que el $75\%$ són dones, el $25\%$ són homes:

\begin{equation}
p = 0.25
\end{equation}

Per tant, volem calcular:

\begin{equation}
P(X \geq 260)
\end{equation}

Per a grans valors de $n$, podem aproximar la distribució binomial per una normal:

\begin{equation}
X \approx N(\mu, \sigma^2)
\end{equation}

on els paràmetres són:

\begin{equation}
\mu = n p = 1000 \times 0.25 = 250
\end{equation}

\begin{equation}
\sigma = \sqrt{n p (1 – p)} = \sqrt{1000 \times 0.25 \times 0.75} = \sqrt{187.5} \approx 13.69
\end{equation}

Aplicant la correcció de continuïtat:

\begin{equation}
P(X \geq 260) \approx P\left(Z \geq \frac{260 – 250.5}{\sigma} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
P\left(Z \geq \frac{260 – 250.5}{13.69} \right) = P\left(Z \geq \frac{9.5}{13.69} \right) = P(Z \geq 0.694)
\end{equation}

Consultant la taula de la normal estàndard:

\begin{equation}
P(Z \geq 0.694) = 1 – P(Z \leq 0.694) = 1 – 0.755
\end{equation}

\begin{equation}
= 0.245
\end{equation}

Així doncs, la probabilitat que almenys 260 voluntaris siguin homes és aproximadament 0.245 ($24.5\%$).