Durada dels televisors. Distribució normal

Si suposem que la durada dels televisors d’una marca determinada segueix una distribució normal de mitjana $12$ anys i desviació estàndard $1,5$ anys. a) Quina és la probabilitat que un televisor d’aquesta marca duri més de $15$ anys? b) I que duri entre $10$ i $14$ anys?

Es considera que la durada dels televisors segueix una distribució normal de mitjana $\mu = 12$ anys i desviació estàndard $\sigma = 1.5$ anys.

a) Probabilitat que un televisor duri més de $15$ anys:

El primer pas és calcular la variable normal estàndard corresponent a un valor de $15$ anys. Utilitzem la fórmula de transformació a la distribució normal estàndard $Z$:

\begin{equation}
Z = \frac{X – \mu}{\sigma}
\end{equation}

On:
$$X = 15 \quad \mu = 12 \quad \sigma = 1.5$$

Calculant $Z$:

\begin{equation}
Z = \frac{15 – 12}{1.5} = \frac{3}{1.5} = 2
\end{equation}

Ara, necessitem trobar la probabilitat que $Z$ sigui més gran que 2, és a dir, $P(Z > 2)$.

La probabilitat acumulada $P(Z \leq 2)$ és aproximadament $0.9772$. Per tant:

\begin{equation}
P(Z > 2) = 1 – P(Z \leq 2) = 1 – 0.9772 = 0.0228
\end{equation}

Per tant, la probabilitat que un televisor duri més de $15$ anys és aproximadament:

$$P(X > 15) \approx 0.0228$$

b) Probabilitat que un televisor duri entre 10 i 14 anys:

Ara, volem calcular la probabilitat que el temps de durada del televisor estigui entre 10 i 14 anys. Per això, primer transformarem 10 i 14 anys a la distribució normal estàndard $Z$.

1. Calculant $Z$ per $X = 10$ anys:

\begin{equation}
Z = \frac{10 – 12}{1.5} = \frac{-2}{1.5} \approx -1.33
\end{equation}

2. Calculant $Z$ per $X = 14$ anys:

\begin{equation}
Z = \frac{14 – 12}{1.5} = \frac{2}{1.5} \approx 1.33
\end{equation}

Ara, necessitem les probabilitats acumulades $P(Z \leq -1.33)$ i $P(Z \leq 1.33)$.

La probabilitat acumulada per $Z = -1.33$ és aproximadament $0.0918$, i la probabilitat acumulada per $Z = 1.33$ és aproximadament $0.9082$.

La probabilitat que el televisor duri entre $10$ i $14$ anys és:

\begin{equation}
P(10 \leq X \leq 14) = P(Z \leq 1.33) – P(Z \leq -1.33) = 0.9082 – 0.0918 = 0.8164
\end{equation}