Distribució normal. Diàmetre dels tubs

Una màquina produeix tubs el diàmetre dels quals es distribueix normalment amb mitjana de $35,6$ mm i desviació estàndard de $0,4$ mm. Suposem que els tubs no serveixen si el seu diàmetre és inferior a $34,8$ mm o superior a $36,1$ mm, quin percentatge de tubs defectuosos produeix aquesta màquina?

El diàmetre dels tubs segueix una distribució normal amb:

• Mitjana (\(\mu\)) = 35,6 mm

• Desviació estàndard (\(\sigma\)) = 0,4 mm

Un tub es considera defectuós si el seu diàmetre està fora de l’interval \([34,8, 36,1]\). Per calcular el percentatge de tubs defectuosos, trobem la probabilitat que el diàmetre sigui:

1. Inferior a 34,8 mm

2. Superior a 36,1 mm

Per fer-ho, transformem aquests valors en puntuacions Z amb la fórmula:\[Z = \frac{X – \mu}{\sigma}\]

Càlcul de les puntuacions Z:

• Per \(X = 34,8\):\[Z = \frac{34,8 – 35,6}{0,4} = \frac{-0,8}{0,4} = -2\]

• Per \(X = 36,1\):\[Z = \frac{36,1 – 35,6}{0,4} = \frac{0,5}{0,4} = 1,25\]Ara busquem les probabilitats corresponents a aquestes puntuacions en una taula de la distribució normal estàndard:

• \( P(Z < -2) \approx 0,0228 \) (2,28%)

• \( P(Z > 1,25) = 1 – P(Z < 1,25) \approx 1 – 0,8944 = 0,1056 \) (10,56%)

Percentatge total de tubs defectuosos: \[P(Z < -2) + P(Z > 1,25) = 0,0228 + 0,1056 = 0,1284\]En percentatge: 12,84% dels tubs produïts per la màquina són defectuosos.