Suposem que vas a un restaurant que ofereix dues opcions de menú per a l’esmorzar: A i B. El $70$% dels clients solen escollir l’opció A i el $30$% l’opció B. Si el restaurant ofereix uns postres gratuït als clients que escullen l’opció B, i el $80$% d’aquests clients accepten el postres, mentre que només el $50$% dels clients que escullen l’opció A accepten el postres. Si un client ha acceptat el postre gratuït, quina és la probabilitat que hagi escollit l’opció B per a l’esmorzar?
Aquest problema es pot resoldre utilitzant el teorema de Bayes, ja que volem trobar una probabilitat condicional inversa: donat que el client ha acceptat el postre, quina és la probabilitat que hagi escollit l’opció B.
Definim els esdeveniments:
- $A$: El client escull el menú A
- $B$: El client escull el menú B
- $P$: El client accepta el postre gratuït
Sabem que:
- $P(A) = 0{,}70$
- $P(B) = 0{,}30$
- $P(P | A) = 0{,}50$
- $P(P | B) = 0{,}80$
Volem trobar:
$$P(B | P)$$
Apliquem el teorema de Bayes:
$$P(B | P) = \frac{P(P | B) \cdot P(B)}{P(P)}$$
On $P(P)$ és la probabilitat total que un client accepti el postre: $$P(P) = P(P | A) \cdot P(A) + P(P | B) \cdot P(B) P(P)$$ $$P(P) = 0{,}50 \cdot 0{,}70 + 0{,}80 \cdot 0{,}30 = 0{,}35 + 0{,}24 = 0{,}59$$
Ara calculem $P(B | P)$:
$$(B | P) = \frac{0{,}80 \cdot 0{,}30}{0{,}59} = \frac{0{,}24}{0{,}59} \approx 0{,}4068$$
✅ Resposta:
La probabilitat que un client que ha acceptat el postre gratuït hagi escollit l’opció B és aproximadament 0,407 o 40,7%.
Us agrada:
M'agrada S'està carregant...