problema probabilitat condicionada. Problema dels menús.

Suposem que vas a un restaurant que ofereix dues opcions de menú per a l’esmorzar: A i B. El $70\%$ dels clients solen escollir l’opció A i el $30\%$ l’opció B. Si el restaurant ofereix uns postres gratuït als clients que escullen l’opció B, i el $80\%$ d’aquests clients accepten el postres, mentre que només el $50\%$ dels clients que escullen l’opció A accepten el postres. Si un client ha acceptat el postre gratuït, quina és la probabilitat que hagi escollit l’opció B per a l’esmorzar?

Aquest problema es pot resoldre utilitzant el teorema de Bayes, ja que volem trobar una probabilitat condicional inversa: donat que el client ha acceptat el postre, quina és la probabilitat que hagi escollit l’opció B.

Definim els esdeveniments:

• $A$: El client escull el menú A
• $B$: El client escull el menú B
• $P$: El client accepta el postre gratuït

Sabem que:

• $P(A) = 0{,}70$
• $P(B) = 0{,}30$
• $P(P | A) = 0{,}50$
• $P(P | B) = 0{,}80$

Volem trobar:

$$P(B | P)$$

Apliquem el teorema de Bayes:

$$P(B | P) = \frac{P(P | B) \cdot P(B)}{P(P)}$$

On $P(P)$ és la probabilitat total que un client accepti el postre: $$P(P) = P(P | A) \cdot P(A) + P(P | B) \cdot P(B) P(P)$$ $$P(P) = 0{,}50 \cdot 0{,}70 + 0{,}80 \cdot 0{,}30 = 0{,}35 + 0{,}24 = 0{,}59$$

Ara calculem $P(B | P)$:

$$(B | P) = \frac{0{,}80 \cdot 0{,}30}{0{,}59} = \frac{0{,}24}{0{,}59} \approx 0{,}4068$$

✅ Resposta:

La probabilitat que un client que ha acceptat el postre gratuït hagi escollit l’opció B és aproximadament 0,407 o 40,7%.