Suposem que vas a un restaurant que ofereix dues opcions de menú per a l’esmorzar: A i B. El $70$% dels clients solen escollir l’opció A i el $30$% l’opció B. Si el restaurant ofereix un postre gratuït als clients que escullen l’opció B, i el $80$% d’aquests clients accepten el postre, mentre que només el $50$% dels clients que escullen l’opció A accepten el postre.

Si un client ha acceptat el postre gratuït, quina és la probabilitat que hagi escollit l’opció B per a l’esmorzar?

Solució:

Podem utilitzar la regla de Bayes per calcular la probabilitat condicionada que estem buscant. Denotem:

A: el client ha escollit l’opció A per a l’esmorzar
B: el client ha escollit l’opció B per a l’esmorzar

L’informació que tenim és:

$P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,3$ (probabilitats marginals)
$P(acceptar el postre | A) = 0,5$, $P(acceptar el postre | B) = 0,8$ (probabilitats condicionades)

Volem calcular la probabilitat condicionada:

$P(B | acceptar el postre) = $?

La regla de Bayes ens diu que:

$P(B | acceptar el postre) = P(acceptar el postre | B) P(B) / P(acceptar el postre)$

Per calcular la probabilitat del denominador, utilitzem la llei de probabilitat total:

$P(acceptar el postre) = P(acceptar el postre | A) P(A) + P(acceptar el postre | B) P(B)
= 0,5 x 0,7 + 0,8 x 0,3
= 0,59$

Ara podem substituir aquest valor i les altres probabilitats en la fórmula de Bayes:

$P(B | acceptar el postre) = 0,8 x 0,3 / 0,59
≈ 0,41$

Per tant, si un client ha acceptat el postre gratuït, la probabilitat que hagi escollit l’opció B per a l’esmorzar és d’aproximadament el $41$%.