LEMNISCATA
Matemàtiques
Suposem que vas a un restaurant que ofereix dues opcions de menú per a l’esmorzar: A i B. El $70$% dels clients solen escollir l’opció A i el $30$% l’opció B. Si el restaurant ofereix un postre gratuït als clients que escullen l’opció B, i el $80$% d’aquests clients accepten el postre, mentre que només el $50$% dels clients que escullen l’opció A accepten el postre.
Si un client ha acceptat el postre gratuït, quina és la probabilitat que hagi escollit l’opció B per a l’esmorzar?
Solució:
Podem utilitzar la regla de Bayes per calcular la probabilitat condicionada que estem buscant. Denotem:
A: el client ha escollit l’opció A per a l’esmorzar
B: el client ha escollit l’opció B per a l’esmorzar
L’informació que tenim és:
$P(A) = 0,7$, $P(B) = 0,3$ (probabilitats marginals)
$P(acceptar el postre | A) = 0,5$, $P(acceptar el postre | B) = 0,8$ (probabilitats condicionades)
Volem calcular la probabilitat condicionada:
$P(B | acceptar el postre) = $?
La regla de Bayes ens diu que:
$P(B | acceptar el postre) = P(acceptar el postre | B) P(B) / P(acceptar el postre)$
Per calcular la probabilitat del denominador, utilitzem la llei de probabilitat total:
$P(acceptar el postre) = P(acceptar el postre | A) P(A) + P(acceptar el postre | B) P(B)
= 0,5 x 0,7 + 0,8 x 0,3
= 0,59$
Ara podem substituir aquest valor i les altres probabilitats en la fórmula de Bayes:
$P(B | acceptar el postre) = 0,8 x 0,3 / 0,59
≈ 0,41$
Per tant, si un client ha acceptat el postre gratuït, la probabilitat que hagi escollit l’opció B per a l’esmorzar és d’aproximadament el $41$%.