Teorema de Bayes

Teorema de Bayes
8 d'agost de 2024 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

El teorema de Bayes és una fórmula fonamental en la teoria de probabilitats que proporciona una manera de calcular la probabilitat condicional d’un esdeveniment, basant-se en la informació disponible. Es diu així en honor al matemàtic britànic Thomas Bayes.

Definició del Teorema de Bayes

El teorema de Bayes relaciona la probabilitat condicional d’un esdeveniment (A) donada la informació d’un esdeveniment (B), amb la probabilitat condicional de (B) donada (A). La fórmula general és:

$$P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)$$

on:

  • $P(A | B)$ és la probabilitat condicional de $A$ donat $B$.
  • $P(B | A)$ és la probabilitat condicional de $B$ donat $A$.
  • $$P(A)$$ és la probabilitat marginal o a priori de $A$.
  • $$P(B)$$ és la probabilitat marginal o a priori de $B$.

Interpretació

  • $P(A)$: La probabilitat a priori d’un esdeveniment $A$ abans de conèixer res sobre $B$.
  • $P(B | A)$: La probabilitat de que es produeixi $B$ si ja sabem que $A$ ha ocorregut.
  • $P(B)$: La probabilitat total de l’esdeveniment $B$, que es pot calcular com la suma de les probabilitats condicionals de $B$ per a totes les possibles condicions $A$.

Aplicació

El teorema de Bayes és útil en diverses àrees com la inferència estadística, l’aprenentatge automàtic, la medicina (per exemple, per a diagnòstics), i altres camps on es requereix actualitzar les probabilitats a mesura que es disposa de nova informació.

Exemple Simple

Suposem que tenim dos esdeveniments:

  • $A$: Un esdeveniment que volem calcular la probabilitat.
  • $B$: Un esdeveniment que proporciona nova informació.

Problema: Suposem que volem saber la probabilitat que una persona tingui una malaltia (esdeveniment $A$) donat que el seu test de detecció ha donat positiu (esdeveniment $B$).

Dades:

  • La probabilitat que una persona tingui la malaltia $P(A)$.
  • La probabilitat que el test sigui positiu si la persona té la malaltia $P(B | A)$.
  • La probabilitat que el test sigui positiu en general $P(B)$, que es pot calcular a partir de les persones amb i sense la malaltia.

Solució:
Utilitzant el teorema de Bayes, podem calcular $P(A | B)$, la probabilitat que una persona tingui la malaltia donat que el test és positiu.

$$P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}$$

Aquest teorema ens permet actualitzar les nostres creences sobre la probabilitat d’un esdeveniment en funció de nova informació.

Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *