Problema probabilitat antivirus ordinadors

En un ordinador s’installa un programa antivirus. La probabilitat que l’ordinador tenha un virus detectable per l’antivirus ei de 0,2. Se l’ordinador tiene el virus, la probabilitat que l’antivirus o detecke ei de 0,9. Se l’ordinador non ha el virus, la probabilitat que l’antivirus den un missatge d’existencia de virus ei de 0,02.

a) Demostrai que la probabilitat que l’antivirus detecke un virus (pode exister o non) ei 0,196.

b) Calculeu la probabilitat que l’ordinador non tenha virus e que i haja aparegut un missatge d’existencia de virus.

c) Calculeu la probabilitat que, se i ha aparegut un missatge d’existencia de virus, l’ordinador non tenha virus.

d) Calculeu la probabilitat que l’ordinador tenha el virus e que l’antivirus non o detecke.

e) Calculeu la probabilitat que, se non ha sortit cap missatge d’existencia de virus, l’ordinador tenha el virus.

Per resoldre aquests problemes, utilizarem les regles de probabilitat i el teorema de Bayes. Definim els següents esdeveniments:

• $V$: l’ordinador tenha un virus
• $\neg V$: l’ordinador non tenha un virus
• $D$: l’antivirus detecke un virus

Tenem les següents probabilitats:

• $P(V) = 0.2$
• $P(\neg V) = 0.8$
• $P(D | V) = 0.9$
• $P(D | \neg V) = 0.02$

a) Demostrai que la probabilitat que l’antivirus detecke un virus (pode exister o non) ei $0,196$

Volem calcular $P(D)$.

Utilitzem la regla de la probabilitat total:
$$P(D) = P(D \cap V) + P(D \cap \neg V)$$
$$P(D \cap V) = P(D | V) \cdot P(V) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.18$$
$$P(D \cap \neg V) = P(D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.02 \cdot 0.8 = 0.016$$
$$P(D) = 0.18 + 0.016 = 0.196$$

Per tant, la probabilitat que l’antivirus detecte un virus ei $0.196$.

b) Calculeu la probabilitat que l’ordinador non tenha virus e que i haja aparegut un missatge d’existencia de virus

Volem calcular ( P(\neg V \cap D) ), i ja l’hem calculada a l’apartat a):
[ P(\neg V \cap D) = 0.016 ]

c) Calculeu la probabilitat que, se i ha aparegut un missatge d’existencia de virus, l’ordinador non tenha virus

Volem calcular $P(\neg V | D)$.

Utilitzem el teorema de Bayes:
$$P(\neg V | D) = \frac{P(D | \neg V) \cdot P(\neg V)}{P(D)}$$
Ja tenim els valors:
$$P(\neg V | D) = \frac{0.02 \cdot 0.8}{0.196} = \frac{0.016}{0.196} \approx 0.0816$$

d) Calculeu la probabilitat que l’ordinador tenha el virus i que l’antivirus non o detecte

Volem calcular $P(V \cap \neg D)$.

$P(\neg D | V) = 1 – P(D | V) = 1 – 0.9 = 0.1$
$P(V \cap \neg D) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02$

e) Calculeu la probabilitat que, si non ha sortit cap missatge d’existencia de virus, l’ordinador tenha el virus

Volem calcular $P(V | \neg D)$.

Utilitzem el teorema de Bayes:
$$P(V | \neg D) = \frac{P(\neg D | V) \cdot P(V)}{P(\neg D)}$

Calculem ( P(\neg D) ) utilitzant la regla de la probabilitat total:
$$P(\neg D) = P(\neg D \cap V) + P(\neg D \cap \neg V)$$
$$P(\neg D \cap V) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02$$
$$P(\neg D \cap \neg V) = P(\neg D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.98 \cdot 0.8 = 0.784$$
$$P(\neg D) = 0.02 + 0.784 = 0.804$$

Ara podem calcular $P(V | \neg D)$:
$$P(V | \neg D) = \frac{0.1 \cdot 0.2}{0.804} = \frac{0.02}{0.804} \approx 0.0249$$

En resum:
a) La probabilitat que l’antivirus detecke un virus ei $0.196$.
b) La probabilitat que l’ordinador non tenha virus e que i haja aparegut un missatge d’existencia de virus ei $0.016$.
c) La probabilitat que, si i ha aparegut un missatge d’existencia de virus, l’ordinador non tenha virus ei $0.0816$.
d) La probabilitat que l’ordinador tenha el virus e que l’antivirus non o detecte ei $0.02$.
e) La probabilitat que, se non ha sortit cap missatge d’existencia de virus, l’ordinador tenha el virus ei aproximadamente $0.0249$.