Problema probabilitat antivirus ordinadors

S’instal·la un programa antivirus en un ordinador. La probabilitat que l’ordinador tingui un virus detectable per l’antivirus és de $0,2$. Si l’ordinador té el virus, la probabilitat que l’antivirus el detecti és de $0,9$. Si l’ordinador no té el virus, la probabilitat que l’antivirus doni un missatge d’existència de virus és de $0,02$.
a) Demostreu que la probabilitat que l’antivirus detecti un virus (pot existir o no) és $0,196$.
b) Calculeu la probabilitat que l’ordinador no tingui virus i hagi aparegut un missatge d’existència de virus.
c) Calculeu la probabilitat que, si ha aparegut un missatge d’existència de virus, l’ordinador no tingui virus.
d) Calculeu la probabilitat que l’ordinador tingui el virus i l’antivirus no el detecti.
e) Calculeu la probabilitat que si no ha sortit cap missatge d’existència de virus, l’ordinador tingui el virus.

Per a resoldre aquests problemes, utilitzarem les regles de probabilitat i el teorema de Bayes. Definim els següents esdeveniments:

• $V$: l’ordinador té un virus
• $\neg V$: l’ordinador no té un virus
• $D$: l’antivirus detecta un virus

Tenim les següents probabilitats:

• $P(V) = 0.2$
• $P(\neg V) = 0.8$
• $P(D | V) = 0.9$
• $P(D | \neg V) = 0.02$

a) Demostreu que la probabilitat que l’antivirus detecti un virus (pot existir o no) és $0.196$

Volem calcular $P(D)$.

Utilitzem la regla de la probabilitat total:
$$P(D) = P(D \cap V) + P(D \cap \neg V)$$
$$P(D \cap V) = P(D | V) \cdot P(V) = 0.9 \cdot 0.2 = 0.18$$
$$P(D \cap \neg V) = P(D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.02 \cdot 0.8 = 0.016$$
$$P(D) = 0.18 + 0.016 = 0.196$$

Per tant, la probabilitat que l’antivirus detecti un virus és $0.196$.

b) Calculeu la probabilitat que l’ordinador no tingui virus i hagi aparegut un missatge d’existència de virus

Volem calcular $P(\neg V \cap D)$, ja l’hem calculada a l’apartat a):
$$P(\neg V \cap D) = 0.016$$

c) Calculeu la probabilitat que, si ha aparegut un missatge d’existència de virus, l’ordinador no tingui virus

Volem calcular $P(\neg V | D)$.

Utilitzem el teorema de Bayes:
$$P(\neg V | D) = \frac{P(D | \neg V) \cdot P(\neg V)}{P(D)}$$
Ja tenim els valors:
$$P(\neg V | D) = \frac{0.02 \cdot 0.8}{0.196} = \frac{0.016}{0.196} \approx 0.0816$$

d) Calculeu la probabilitat que l’ordinador tingui el virus i l’antivirus no el detecti

Volem calcular $P(V \cap \neg D)$.

$$P(\neg D | V) = 1 – P(D | V) = 1 – 0.9 = 0.1$$
$$P(V \cap \neg D) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02$$

e) Calculeu la probabilitat que si no ha sortit cap missatge d’existència de virus, l’ordinador tingui el virus

Volem calcular $P(V | \neg D)$.

Utilitzem el teorema de Bayes:
$$P(V | \neg D) = \frac{P(\neg D | V) \cdot P(V)}{P(\neg D)}$$

Calculem $P(\neg D)$ utilitzant la regla de la probabilitat total:
$$P(\neg D) = P(\neg D \cap V) + P(\neg D \cap \neg V)$$
$$P(\neg D \cap V) = P(\neg D | V) \cdot P(V) = 0.1 \cdot 0.2 = 0.02$$
$$P(\neg D \cap \neg V) = P(\neg D | \neg V) \cdot P(\neg V) = 0.98 \cdot 0.8 = 0.784$$
$$P(\neg D) = 0.02 + 0.784 = 0.804$$

Ara podem calcular $P(V | \neg D)$:
$$P(V | \neg D) = \frac{0.1 \cdot 0.2}{0.804} = \frac{0.02}{0.804} \approx 0.0249$$

En resum:
a) La probabilitat que l’antivirus detecti un virus és $0.196$.
b) La probabilitat que l’ordinador no tingui virus i hagi aparegut un missatge d’existència de virus és $0.016$.
c) La probabilitat que, si ha aparegut un missatge d’existència de virus, l’ordinador no tingui virus és $0.0816$.
d) La probabilitat que l’ordinador tingui el virus i l’antivirus no el detecti és $0.02$.
e) La probabilitat que si no ha sortit cap missatge d’existència de virus, l’ordinador tingui el virus és aproximadament $0.0249$.

Versió en aranès

Versió en asturianu

Versió en basc

Versió en gallec